O análise de malha é uma técnica usada para resolver circuitos elétricos planos. Este procedimento também pode aparecer na literatura sob os nomes dos métodos do correntes de circuito ou método de correntes de malha (ou loop).
A base deste e de outros métodos de análise de circuito elétrico está nas leis de Kirchhoff e na lei de Ohm. As leis de Kirchhoff, por sua vez, são expressões de dois princípios de conservação muito importantes em Física para sistemas isolados: tanto a carga elétrica quanto a energia são conservadas..
Por um lado, a carga elétrica está relacionada à corrente, que é a carga em movimento, enquanto em um circuito, a energia está ligada à tensão, que é o agente encarregado de fazer o trabalho necessário para manter a carga em movimento..
Essas leis, aplicadas a um circuito plano, geram um conjunto de equações simultâneas que devem ser resolvidas para se obter os valores de corrente ou tensão..
O sistema de equações pode ser resolvido com técnicas analíticas familiares, como regra de cramer, que requer o cálculo dos determinantes para obter a solução do sistema.
Dependendo do número de equações, elas são resolvidas usando uma calculadora científica ou algum software matemático. Na rede também existem muitas opções disponíveis.
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Antes de explicar como funciona, vamos começar definindo estes termos:
Galho: seção contendo um elemento de circuito.
Nó: ponto conectando dois ou mais ramos.
Fita: é qualquer parte fechada de um circuito, começando e terminando no mesmo nó.
Malha: loop que não contém nenhum outro loop dentro (malha essencial).
A análise de malha é um método geral usado para resolver circuitos cujos elementos estão conectados em série, em paralelo ou de forma mista, ou seja, quando o tipo de conexão não é claramente distinguido. O circuito deve ser plano, ou pelo menos deve ser possível redesenhar como tal.
Um exemplo de cada tipo de circuito é mostrado na figura acima. Uma vez que o ponto seja esclarecido, para começar, aplicaremos o método a um circuito simples como um exemplo na próxima seção, mas primeiro revisaremos brevemente as leis de Ohm e Kirchhoff.
Lei de Ohm: ser V a voltagem, R resistência e eu a corrente do elemento resistivo ôhmico, em que a tensão e a corrente são diretamente proporcionais, sendo a resistência a constante de proporcionalidade:
V = I.R
Lei da Tensão de Kirchhoff (LKV): Em qualquer caminho fechado percorrido em apenas uma direção, a soma algébrica das tensões é zero. Isso inclui tensões devido a fontes, resistores, indutores ou capacitores: ∑ E = ∑ Reu. eu
Lei da Corrente de Kirchhoff (LKC): em qualquer nó, a soma algébrica das correntes é zero, levando em consideração que as correntes de entrada recebem um sinal e as que saem de outro. Desta forma: ∑ I = 0.
Com o método da corrente de malha, não é necessário aplicar a lei atual de Kirchhoff, resultando em menos equações para resolver.
Começaremos explicando o método para um circuito de 2 malhas. O procedimento pode então ser estendido para circuitos maiores.
Atribua e desenhe correntes independentes para cada malha, neste exemplo, elas são eu1 e eudois. Eles podem ser desenhados no sentido horário ou anti-horário.
Aplique a Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) e a lei de Ohm a cada malha. As quedas potenciais são atribuídas a um sinal (-) enquanto as subidas são atribuídas a um sinal (+).
Partindo do ponto a e seguindo a direção da corrente, encontramos um aumento potencial na bateria E1 (+), depois uma queda em R1 (-) e, em seguida, outra queda em R3 (-).
Simultaneamente, a resistência R3 também é percorrido pela corrente Idois, mas na direção oposta, portanto, representa um aumento (+). A primeira equação se parece com isto:
E1-R1.eu1 -R3.eu1 + R3.eudois = 0
Em seguida, é fatorado e os termos são reagrupados:
- (R1+R3) EU1 +R3eudois = -E1 (Equação 1)
Começando do ponto e e seguindo a direção da corrente, uma queda potencial é encontrada em Rdois (-), outra queda em Edois, uma vez que a corrente entra pelo pólo + da bateria e finalmente outra queda R3 (-), ao mesmo tempo, o atual eu1 atravessa R3 na direção oposta (+).
A segunda equação, com os sinais indicados, tem a seguinte aparência:
- Rdois eudois - Edois -R3 eudois +R3 eu1= 0
R3eu1 - (Rdois +R3) eudois = Edois (Equação 2)
Observe que existem duas equações com as duas incógnitas I1 e eudois.
O sistema de equações assim formado é então resolvido.
Para começar, é importante considerar o seguinte:
-Correntes de loop ou correntes de malha podem ser atribuídas a um endereço arbitrário.
-Cada malha essencial - ou "janela" - que o circuito possui deve ser atribuída a uma corrente.
-As correntes de malha são indicadas com uma letra maiúscula para distingui-las das correntes que circulam por meio de ramos, embora em alguns casos a corrente que circula por meio de um ramo possa ser a mesma da malha.
Encontre as correntes que fluem através de cada resistor no circuito da figura 3, se os elementos tiverem os seguintes valores:
R1 = 20 Ω; Rdois = 30 Ω; R3 = 10 Ω; E1 = 12 V; Edois = 18 V
Primeiro, é necessário atribuir as correntes de malha I1 e eudois e tome o sistema de equações como deduzido na seção anterior, então substitua os valores dados na declaração:
- (R1+R3) EU1 +R3eudois = -E1 (Equação 1)
R3eu1 - (Rdois +R3) eudois = Edois (Equação 2)
-
-(20 + 30) eu1 + 10Idois = -12
10I1 - (30 +10) Idois = 18
--
-cinquentaeu1 + 10Idois = -12
10I1 - 40 Idois = 18
Uma vez que é um sistema de equações 2 x 2, pode ser facilmente resolvido por redução, multiplicando a segunda equação por 5 para eliminar a incógnita eu1:
-cinquentaeu1 + 10 Idois = -12
50I1 - 200 Idois = 90
-
-190 Idois= 78
eudois = - 78/180 A = - 0,41 A
Imediatamente a corrente limpa eu1 de qualquer uma das equações originais:
eu1 = (18 + 40 Idois) / 10 = (18 + 40 x (-0,41)) / 10 = 0,16 A
O sinal negativo na corrente eudois significa que a corrente na malha 2 circula na direção oposta àquela desenhada.
As correntes em cada resistor são as seguintes:
Pela resistência R1 a corrente circula eu1 = 0,16 A no sentido desenhado, pela resistência Rdois a corrente circula eudois = 0,41 A na direção oposta àquela desenhada, e pela resistência R3 circular eu3 = 0,16- (-0,41) A = 0,57 A para baixo.
Na forma de matriz, o sistema pode ser resolvido da seguinte forma:
A primeira coluna é substituída pelos termos independentes do sistema de equações, mantendo a ordem em que o sistema foi originalmente proposto:
eu1 = Δ1/ Δ = 300/1900 = 0,16 A
eudois = Δdois/ Δ = -780/1900 = -0,41 A
Determine a corrente e as tensões através de cada resistor no circuito a seguir, usando o método de correntes de malha:
As três correntes de malha são desenhadas, conforme mostrado na figura a seguir, em direções arbitrárias. Agora as malhas são percorridas a partir de qualquer ponto:
Malha 1
-9100.I1+18-2200.I1+9100.Idois= 0
-11300 I1 + 9100.Idois = -18
-(7500 + 6800 + 9100) .Idois + 9100.I1+6800.I3-18 = 0
9100.I1 - 23400.Idois + 6800.I3 = 18
-(6800 + 3300) I3 + 6800.Idois - 3 = 0
6800.Idois - 10100.I3 = 3
-11300 I1 + 9100.Idois + 0.I3= -18
9100.I1 - 23400.Idois + 6800.I3 = 18
0.I1 + 6800.Idois - 10100.I3 = 3
Embora os números sejam grandes, isso pode ser resolvido rapidamente com a ajuda de uma calculadora científica. Lembre-se que as equações devem ser ordenadas e adicionar zeros nos locais onde o desconhecido não aparece, como aparece aqui.
As correntes de malha são:
eu1 = 0,0012 A; eudois = -0,00048 A; eu3 = -0.00062 A
Correntes eudois e eu3 circulam no sentido oposto ao mostrado na figura, pois se revelaram negativos.
| Resistência (Ω) | Atual (Amps) | Tensão = I.R (Volts) |
|---|---|---|
| 9100 | eu1 -eudois = 0,0012 - (- 0,00048) = 0,00168 | 15,3 |
| 3300 | 0,00062 | 2.05 |
| 2200 | 0,0012 | 2,64 |
| 7500 | 0,00048 | 3,60 |
| 6800 | eudois -eu3= -0,00048 - (- 0,00062) = 0,00014 | 0,95 |
Como são grandes números, é conveniente usar notação científica para trabalhar diretamente com eles.
As setas coloridas no determinante 3 x 3 indicam como encontrar os valores numéricos multiplicando os valores indicados. Vamos começar obtendo aqueles do primeiro colchete no determinante Δ:
(-11300) x (-23400) x (-10100) = -2,67 x 1012
9100 x 0 x 0 = 0
9100 x 6800 x 0 = 0
Imediatamente obtemos o segundo colchete nesse mesmo determinante, que é trabalhado da esquerda para a direita (para este colchete, as setas coloridas não foram desenhadas na figura). Convidamos o leitor a verificá-lo:
0 x (-23400) x 0 = 0
9100 x 9100 x (-10100) = -8,364 x 10onze
6800 x 6800 x (-11300) = -5,225 x 10onze
Da mesma forma, o leitor também pode verificar os valores para o determinante Δ1.
Importante: entre os dois colchetes há sempre um sinal negativo.
Finalmente você consegue o atual eu1 Através dos eu1 = Δ1 / Δ
eu1 = -1,582 x 109/-1,31 x 1012 = 0,0012 A
O procedimento pode ser repetido para calcular eudois, neste caso, para calcular o determinante Δdois a segunda coluna do determinante Δ é substituída pela coluna dos termos independentes e seu valor é encontrado, conforme procedimento explicado.
No entanto, como é complicado devido aos grandes números, especialmente se você não tiver uma calculadora científica, a coisa mais fácil é substituir o valor de eu1 já calculado, na seguinte equação e claro:
-11300 I1 + 9100.Idois + 0.I3= -18 → 9100 Idois= -18 + 11300 I1 → eudois = -0.00048 A
Uma vez com os valores de eu1 e eudois na mão, a de eu3 encontrado diretamente por substituição.
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