O análise dimensional É uma ferramenta amplamente utilizada em diferentes ramos da ciência e da engenharia para melhor compreender os fenômenos que envolvem a presença de diferentes quantidades físicas. As quantidades têm dimensões e a partir delas as diferentes unidades de medida são derivadas.
A origem do conceito de dimensão encontra-se no matemático francês Joseph Fourier, que o cunhou. Fourier também entendeu que para duas equações serem comparáveis, elas devem ser homogêneas em relação às suas dimensões. Ou seja, metros não podem ser adicionados a quilogramas.
Assim, a análise dimensional é responsável por estudar as magnitudes, dimensões e homogeneidade das equações físicas. Por esse motivo, é freqüentemente usado para verificar relações e cálculos, ou para construir hipóteses sobre questões complicadas que, posteriormente, podem ser testadas experimentalmente..
Desta forma, a análise dimensional é uma ferramenta perfeita para detectar erros em cálculos verificando a congruência ou incongruência das unidades utilizadas nos mesmos, dando especial atenção às unidades dos resultados finais..
Além disso, a análise dimensional é usada para projetar experimentos sistemáticos. Permite reduzir o número de experimentos necessários, bem como facilitar a interpretação dos resultados obtidos..
Uma das bases fundamentais da análise dimensional é que é possível representar qualquer grandeza física como produto das potências de uma grandeza menor, conhecidas como grandezas fundamentais, das quais derivam as demais..
Índice do artigo
Na física, quantidades fundamentais são consideradas aquelas que permitem que outros se expressem em função delas. Por convenção, foram escolhidos os seguintes: comprimento (L), tempo (T), massa (M), intensidade da corrente elétrica (I), temperatura (θ), intensidade da luz (J) e quantidade de substância (N).
Pelo contrário, o resto são considerados quantidades derivadas. Alguns deles são: área, volume, densidade, velocidade, aceleração, entre outros..
Uma fórmula dimensional é definida como a igualdade matemática que apresenta a relação entre uma quantidade derivada e os fundamentos.
Existem várias técnicas ou métodos de análise dimensional. Duas das mais importantes são as seguintes:
Rayleigh, que junto com Fourier foi um dos precursores da análise dimensional, desenvolveu um método direto e muito simples que nos permite obter elementos adimensionais. Neste método, as seguintes etapas são seguidas:
1- A função de caráter potencial da variável dependente é definida.
2- Cada variável é alterada por suas dimensões correspondentes.
3- As equações da condição de homogeneidade são estabelecidas.
4- As incógnitas n-p são fixas.
5- Os expoentes que foram calculados e fixados na equação potencial são substituídos.
6- Os grupos de variáveis são movidos para definir os números adimensionais.
Este método é baseado no teorema de Buckingham ou teorema pi, que afirma o seguinte:
Se houver uma relação dimensional homogênea entre um número "n" de quantidades físicas ou variáveis, onde "p" diferentes dimensões fundamentais estão incluídas, há também uma relação dimensionalmente homogênea entre n-p grupos adimensionais independentes.
O princípio de Fourier, também conhecido como o princípio da homogeneidade dimensional, afeta a estruturação adequada das expressões que ligam quantidades físicas algebricamente.
É um princípio que tem consistência matemática e afirma que a única opção é subtrair ou adicionar quantidades físicas que sejam da mesma natureza. Portanto, não é possível adicionar uma massa com um comprimento, nem um tempo com uma superfície, etc..
Da mesma forma, o princípio afirma que, para que as equações físicas sejam dimensionalmente corretas, o total dos termos dos membros dos dois lados da igualdade deve ter a mesma dimensão. Este princípio permite garantir a coerência das equações físicas..
O princípio de similaridade é uma extensão do caráter de homogeneidade dimensional das equações físicas. É declarado da seguinte forma:
As leis físicas permanecem inalteradas em face das mudanças nas dimensões (tamanho) de um evento físico no mesmo sistema de unidades, sejam mudanças de natureza real ou imaginária..
A aplicação mais clara do princípio da similaridade ocorre na análise das propriedades físicas de um modelo feito em escala menor, para posteriormente utilizar os resultados no objeto em tamanho real..
Esta prática é essencial em áreas como o projeto e fabricação de aviões e navios e em grandes obras hidráulicas.
Entre as muitas aplicações da análise dimensional, as seguintes podem ser destacadas..
- Localize possíveis erros nas operações realizadas
- Resolva problemas cuja resolução apresenta alguma dificuldade matemática intransponível.
- Projetar e analisar modelos em pequena escala.
- Faça observações sobre como possíveis modificações influenciam um modelo.
Além disso, a análise dimensional é usada com bastante frequência no estudo da mecânica dos fluidos..
A relevância da análise dimensional em mecânica dos fluidos se deve à dificuldade de estabelecer equações em determinados fluxos e também à dificuldade de resolvê-los, por isso é impossível estabelecer relações empíricas. Por este motivo, é necessário ir ao método experimental.
Encontre a equação dimensional para velocidade e aceleração.
Como v = s / t, é verdade que: [v] = L / T = L ∙ T-1
De forma similar:
a = v / t
[a] = L / Tdois = L ∙ T-dois
Determine a equação dimensional para o momento.
Uma vez que o momento é o produto da massa e da velocidade, é verdade que p = m ∙ v
Por tanto:
[p] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T-dois
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