UMA antiderivada F (x) de uma função F(x) também é chamado de primitivo ou simplesmente a integral indefinida da referida função, se em um determinado intervalo eu, É verdade que F '(x) = f (x)
Por exemplo, vamos usar a seguinte função:
f (x) = 4x3
Uma antiderivada desta função é F (x) = x4, pois ao derivar F (x) por meio da regra de derivação para os poderes:
Obtemos precisamente f (x) = 4x3.
No entanto, esta é apenas uma das muitas antiderivadas de f (x), uma vez que esta outra função: G (x) = x4 + 2 também é, porque ao diferenciar G (x) em relação ax, o mesmo é obtido de volta f (x).
Vamos dar uma olhada:
Lembre-se de que a derivada de uma constante é 0. Portanto, o termo x4 você pode adicionar qualquer constante e sua derivada permanecerá 4x3.
Conclui-se que qualquer função da forma geral F (x) = x4 + C, onde C é uma constante real, serve como antiderivada de f (x).
O exemplo ilustrativo acima pode ser expresso assim:
dF (x) = 4x3 dx
A antiderivada ou integral indefinida é expressa com o símbolo ∫, portanto:
F (x) = ∫4x3 dx = x4 + C
Onde a função f (x) = 4x3 se denomina integrando, e C é o constante de integração.
Índice do artigo
Encontrar uma antiderivada de uma função é simples em alguns casos onde os derivados são bem conhecidos. Por exemplo, seja a função f (x) = sin x, uma antiderivada para ela é outra função F (x), de modo que ao diferenciá-la obtemos f (x).
Essa função pode ser:
F (x) = - cos x
Vamos verificar se é verdade:
F '(x) = (- cos x)' = - (-sen x) = sin x
Portanto, podemos escrever:
∫sen x dx = -cos x + C
Além de conhecer as derivadas, existem algumas regras básicas e simples de integração para encontrar a antiderivada ou integral indefinida.
Seja k uma constante real, então:
1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C
dois.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
Se uma função h (x) pode ser expressa como a adição ou subtração de duas funções, então sua integral indefinida é:
3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
Esta é a propriedade da linearidade.
O regra de poderes para integrais, pode ser definido desta forma:
Para o caso de n = -1, a seguinte regra é usada:
5.- ∫x -1 dx = ln x + C
É fácil mostrar que a derivada de ln x é precisamente x -1.
Uma equação diferencial é aquela em que a incógnita é encontrada como uma derivada.
Agora, a partir da análise anterior, é fácil perceber que a operação inversa à derivada é a antiderivada ou integral indefinida.
Seja f (x) = y '(x), ou seja, a derivada de uma determinada função. Podemos usar a seguinte notação para indicar esta derivada:
Segue-se imediatamente que:
dy = f (x) dx
A incógnita da equação diferencial é a função y (x), aquela cuja derivada é f (x). Para resolvê-lo, a expressão anterior é integrada em ambos os lados, o que equivale a aplicar a antiderivada:
∫dy = ∫f (x) dx
A integral esquerda é resolvida pela regra de integração 1, com k = 1, resolvendo assim a incógnita desejada:
y (x) = ∫f (x) dx = F (x) + C
E como C é uma constante real, para saber qual é a mais apropriada em cada caso, a declaração deve conter informações adicionais suficientes para calcular o valor de C. Isso é chamado condição inicial.
Veremos exemplos de aplicação de tudo isso na próxima seção.
Aplicar as regras de integração para obter as seguintes antiderivadas ou integrais indefinidos das funções dadas, simplificando os resultados tanto quanto possível. É conveniente verificar o resultado por derivação.
Aplicamos a regra 3 primeiro, uma vez que o integrando é a soma de dois termos:
∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx
Para a primeira integral, a regra de poderes se aplica:
∫ xdx = (xdois / 2) + C1
A regra 1 se aplica à segunda integral, onde k = 7:
∫7dx = 7∫dx = 7x + Cdois
E agora os resultados foram adicionados. As duas constantes são agrupadas em uma, genericamente chamada de C:
∫ (x + 7) dx = (xdois / 2) + 7x + C
Por linearidade, esta integral é decomposta em três integrais mais simples, aos quais a regra de potência será aplicada:
∫ (x3/2 + xdois + 6) dx = ∫x3/2 dx + ∫xdois dx + ∫6 dx =
Observe que uma constante de integração aparece para cada integral, mas eles se encontram em uma única chamada C.
Nesse caso, é conveniente aplicar a propriedade distributiva de multiplicação para desenvolver o integrando. Em seguida, a regra de potência é usada para encontrar cada integral separadamente, como no exercício anterior.
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3xdois-2x + 3x-2) dx = ∫ (3xdois + x - 2) dx
O leitor atento observará que os dois termos centrais são semelhantes, portanto, são reduzidos antes de integrar:
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3xdois dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x3 + (1/2) xdois - 2x + C
Uma forma de resolver a integral seria desenvolver a potência, como foi feito no exemplo d. Porém, como o expoente é maior, seria aconselhável alterar a variável, de modo a não ter que fazer um desenvolvimento tão longo.
A mudança de variável é a seguinte:
u = x + 7
Derivando esta expressão para ambos os lados:
du = dx
A integral é transformada em uma mais simples com a nova variável, que é resolvida com a regra de potência:
∫ (x + 7)5 dx = ∫ u5 du = (1/6) u6 + C
Finalmente, a alteração é retornada para retornar à variável original:
∫ (x + 7)5 dx = (1/6) (x + 7)6 + C
Uma partícula está inicialmente em repouso e se move ao longo do eixo x. Sua aceleração para t> 0 é dada pela função a (t) = cos t. Sabe-se que em t = 0 a posição é x = 3, tudo em unidades do Sistema Internacional. É pedido para encontrar a velocidade v (t) e a posição x (t) da partícula.
Uma vez que a aceleração é a primeira derivada da velocidade em relação ao tempo, temos a seguinte equação diferencial:
a (t) = v '(t) = cos t
Segue que:
v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C1
Por outro lado, sabemos que a velocidade é por sua vez a derivada da posição, portanto integramos novamente:
x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C1) dt = ∫sen t dt + ∫C1 dt = - cos t + C1 t + Cdois
As constantes de integração são determinadas a partir das informações fornecidas na declaração. Primeiro, diz que a partícula estava inicialmente em repouso, portanto v (0) = 0:
v (0) = sen 0 + C1 = 0
C1 = 0
Então temos que x (0) = 3:
x (0) = - cos 0 + C1 0 + Cdois = - 1 + Cdois = 3 → Cdois = 3 + 1 = 4
As funções de velocidade e posição são definitivamente assim:
v (t) = sin t
x (t) = - cos t + 4
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