O Coeficiente de Poisson é uma quantidade adimensional, característica de cada material. É uma indicação da deformação de um pedaço de material antes da aplicação de certas forças.
Quando uma peça de material submetida a uma tensão ou compressão sofre uma deformação, o quociente entre a deformação transversal e a deformação longitudinal é precisamente o coeficiente de Poisson.
Por exemplo, um cilindro de borracha que é tensionado em suas extremidades se estende na direção longitudinal, mas se estreita transversalmente. A Figura 1 mostra uma barra cujas dimensões originais são: comprimento L e diâmetro D.
A barra é submetida a uma tensão T em suas extremidades e, como consequência dessa tensão, ela sofre um alongamento, de modo que o novo comprimento é L '> L. Mas quando esticada, seu diâmetro também se estreita para o novo valor: D' < D.
O quociente entre o alongamento (positivo) e o estreitamento (negativo) multiplicado por (-1) é um número positivo entre 0 e 0,5. Este número é o chamado coeficiente de Poisson ν (letra grega nu).
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Para calcular o coeficiente de Poisson é necessário determinar a deformação longitudinal e transversal.
A deformação longitudinal εeu é o trecho dividido pelo comprimento original:
εeu = (L '- L) / L
Da mesma forma, a deformação transversal εT é o cone radial dividido pelo diâmetro original:
εT = (D '- D) / D
Portanto, o coeficiente de Poisson é calculado usando a seguinte fórmula:
ν = - εT / εeu
O coeficiente de Poisson ν, está relacionado ao módulo E elasticidade (ou módulo de Young) e com o módulo de rigidez G, usando a seguinte fórmula:
ν = E / (2G) - 1
Uma barra de um determinado material plástico tem um comprimento de 150 mm e uma seção circular de 20 mm de diâmetro. Quando submetido a uma força de compressão F de 612,25 kg-f, observa-se um encurtamento de 14 mm e, simultaneamente, um aumento de 0,85 mm no diâmetro da barra..
Calcular:
a) Deformação longitudinal.
b) A deformação transversal.
c) O coeficiente de Poisson desse material.
d) Módulo de elasticidade de Young correspondente ao material.
e) O módulo de rigidez para esse plástico.
Lembre-se de que a deformação longitudinal εL é o alongamento dividido pelo comprimento original:
εL = (L '- L) / L
εL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933
Observe que a deformação longitudinal é adimensional, e neste caso ela foi negativa porque houve uma diminuição em sua dimensão longitudinal..
Da mesma forma, a deformação transversal εT é a conicidade radial, dividida pelo diâmetro original:
εT = (D '- D) / D
εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425
A deformação transversal foi positiva porque houve aumento do diâmetro da barra.
Para o cálculo do coeficiente de Poisson devemos lembrar que ele é definido como o negativo do quociente entre a deformação transversal e a deformação longitudinal:
ν = - εT / εL
ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554
Deve ser lembrado que o coeficiente de Poisson é um número adimensional positivo e para a maioria dos materiais está entre 0 e 0,5.
O módulo de elasticidade de Young, denotado pela letra E, é a constante de proporcionalidade na lei de Hooke. Por E, a tensão normal σL está relacionada à deformação εL, da seguinte forma:
σL = E εL
A tensão normal é definida como o quociente entre a força normal (neste caso, paralela ao eixo da barra) e a área da seção transversal:
σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)
Neste exercício, a força F é 612,25 kg-f, que deve ser convertida em newtons, que é a unidade SI de força:
F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN
Por sua vez, a seção transversal da área A é:
A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2
Finalmente, a tensão normal aplicada à barra é:
σL = F / A = 6000 N / 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19,098,593 Pa = 19,098 MPa
Para calcular o módulo de elasticidade de Young, resolvemos para E a partir da lei de Hooke σL = E εL:
E = σL / εL = 19.098.593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa
O módulo de rigidez G está relacionado ao módulo E de Young e ao coeficiente de Poisson ν por esta fórmula:
E / (2 G) = 1 + ν
A partir daí, você pode resolver para G:
G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa
Existe um cabo de cobre com um diâmetro de 4 mm e 1 m de comprimento. Sabendo que o módulo de cobre de Young é 110.000 MPa e que seu coeficiente de Poisson é de 0,34, estime o alongamento e o estreitamento em diâmetro que o fio sofre quando um peso de 100 kg-f é pendurado nele..
Primeiramente, é necessário calcular a tensão de tração normal que o peso exerce sobre o fio, seguindo esta fórmula:
σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)
A força F é 980 N e a área da seção transversal é:
A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2
Então, a tensão de tração é:
σL = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77.986.000 Pa
O módulo de elasticidade de Young, denotado pela letra E, é a constante de proporcionalidade na lei de Hooke que relaciona a tensão normal σL à deformação εL:
σL = E εL
A partir daí, a deformação longitudinal do fio de cobre pode ser resolvida:
εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10 ^ -4
Por outro lado, para conhecer a deformação transversal, aplica-se o coeficiente de Poisson:
ν = - εT / εL
Finalmente, temos que a deformação transversal é:
εT = -ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4
Por fim, para saber o trecho absoluto do cabo, deve-se aplicar a seguinte relação:
ΔL = εL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7,09 * 10 ^ -4 m = 0,709 mm
Ou seja, com esse peso o cabo mal esticou 0,709 milímetros.
Para obter a contração absoluta em diâmetro, usamos a seguinte fórmula:
ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0,000964 milímetros.
Este estreitamento de diâmetro é tão pequeno que é difícil ver a olho nu, mesmo sua medição requer um instrumento de alta precisão..
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