É compreendido por conjunto infinito aquele conjunto em que o número de seus elementos é incontável. Ou seja, não importa quão grande seja o número de seus elementos, sempre é possível encontrar mais.
O exemplo mais comum de um conjunto infinito é o dos números naturais N. Não importa o quão grande seja o número, já que você sempre pode obter um maior em um processo que não tem fim:
N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ..., 41, 42, 43,…., 100, 101,…, 126, 127, 128,…
O conjunto de estrelas no universo é certamente imenso, mas não se sabe ao certo se é finito ou infinito. Em contraste com o número de planetas no sistema solar, que é conhecido por ser um conjunto finito.
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Entre as propriedades dos conjuntos infinitos podemos destacar o seguinte:
1- A união de dois conjuntos infinitos dá origem a um novo conjunto infinito.
2- A união de um conjunto finito com um infinito dá origem a um novo conjunto infinito.
3- Se o subconjunto de um determinado conjunto é infinito, então o conjunto original também é infinito. A afirmação recíproca não é verdadeira.
Você não pode encontrar um número natural capaz de expressar a cardinalidade ou o número de elementos de um conjunto infinito. No entanto, o matemático alemão Georg Cantor introduziu o conceito de número transfinito para se referir a um ordinal infinito maior do que qualquer número natural..
O exemplo mais frequente de um conjunto infinito é o dos números naturais. Os números naturais são aqueles que são usados para contar, porém os números inteiros que podem existir são incontáveis.
O conjunto de números naturais não inclui zero e é comumente denotado como o conjunto N, que é amplamente expresso da seguinte forma:
N = 1, 2, 3, 4, 5,…. E é claramente um conjunto infinito.
As reticências são usadas para indicar que após um número, outro segue e, em seguida, outro em um processo infinito ou infinito.
O conjunto de números naturais unidos ao conjunto que contém o número zero (0) é conhecido como o conjunto N+.
N+ = 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Qual é o resultado da união do conjunto infinito N com o conjunto finito OU = 0, resultando no conjunto infinito N+.
O conjunto de inteiros Z É composto pelos números naturais, os números naturais com um sinal negativo e o zero.
Números inteiros Z são considerados uma evolução em relação aos números naturais N usado originalmente e primitivamente no processo de contagem.
No conjunto numérico Z dos inteiros, zero é incorporado para contar ou não contar nada e números negativos para contar extração, perda ou falta de algo.
Para ilustrar a ideia, suponha que um saldo negativo apareça na conta bancária. Isso significa que a conta está abaixo de zero e não só a conta está vazia, mas também tem uma diferença ausente ou negativa, que de alguma forma deve ser substituída pelo banco..
Em forma extensa, o conjunto infinito Z dos inteiros é escrito assim:
Z = …., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…
Na evolução do processo de contagem e troca de coisas, bens ou serviços, aparecem números fracionários ou racionais.
Por exemplo, ao trocar meio pão por duas maçãs, ao registrar a transação, ocorreu a alguém que a metade deveria ser escrita como uma dividida ou dividida em duas partes: ½. Mas metade da metade do pão seria registrada nos livros da seguinte forma: ½ / ½ = ¼.
É claro que esse processo de divisão pode ser infinito em teoria, embora na prática seja até que a última partícula de pão seja alcançada..
O conjunto de números racionais (ou fracionários) é denotado da seguinte forma:
Q = …, -3,…., -2,…, -1,…, 0,…, 1,…, 2,…, 3,…
As reticências entre os dois números inteiros significam que entre esses dois números ou valores existem infinitas partições ou divisões. É por isso que se diz que o conjunto de números racionais é infinitamente denso. Isso ocorre porque não importa o quão próximos dois números racionais possam estar um do outro, valores infinitos podem ser encontrados.
Para ilustrar o acima, suponha que devemos encontrar um número racional entre 2 e 3. Esse número pode ser 2⅓, que é conhecido como um número misto consistindo de 2 partes inteiras mais um terço da unidade, que é equivalente para escrever 4/3.
Entre 2 e 2⅓ outro valor pode ser encontrado, por exemplo 2⅙. E entre 2 e 2⅙ outro valor pode ser encontrado, por exemplo 2⅛. Entre estes dois outro, e entre eles outro, outro e outro.
Existem números que não podem ser escritos como a divisão ou fração de dois números inteiros. É este conjunto numérico que é conhecido como o conjunto I dos números irracionais e também é um conjunto infinito.
Alguns elementos notáveis ou representantes deste conjunto numérico são o número pi (π), o número de Euler (e), a proporção áurea ou número áureo (φ). Esses números só podem ser escritos por um número racional:
π = 3,1415926535897932384626433832795 ... (e continua até o infinito e além ...)
e = 2.7182818284590452353602874713527…. (E continua além do infinito…)
φ = 1,61803398874989484820… (até o infinito… e além…)
Outros números irracionais aparecem ao tentar encontrar soluções para equações muito simples, por exemplo, a equação X ^ 2 = 2 não tem uma solução racional exata. A solução exata é expressa pela seguinte simbologia: X = √2, que é lido x igual à raiz de dois. Uma expressão racional aproximada (ou decimal) para √2 é:
√2 ≈1.4142135623730950488016887242097.
Existem incontáveis números irracionais, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖) para citar alguns.
Os números reais são os conjuntos de números usados com mais frequência em cálculo matemático, física e engenharia. Este conjunto de números é a união dos números racionais Q e números irracionais eu:
R = Q OU eu
Entre os conjuntos infinitos, alguns são maiores do que outros. Por exemplo, o conjunto de números naturais N é infinito, porém é um subconjunto dos inteiros Z que também é infinito, portanto, o conjunto infinito Z é maior que o conjunto infinito N.
Da mesma forma, o conjunto de números inteiros Z é um subconjunto dos números reais R, e, portanto, o conjunto R é "mais infinito" do que o conjunto infinito Z.
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