O constante de integração É uma mais-valia ao cálculo de antiderivadas ou integrais, serve para representar as soluções que constituem a primitiva de uma função. Expresse uma ambigüidade inerente onde qualquer função tem um número infinito de primitivas.
Por exemplo, se tomarmos a função: f (x) = 2x + 1 e obtermos sua antiderivada:
∫ (2x + 1) dx = xdois + x + C ; Onde C é o constante de integração e representa graficamente a tradução vertical entre as possibilidades infinitas do primitivo. É correto dizer que (xdois + x) é uma das primitivas de f (x).
Da mesma forma, podemos definir a (xdois + x + C ) como a primitiva de f (x).
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Pode-se notar que derivando a expressão (xdois + x) obtém-se a função f (x) = 2x + 1, devido à propriedade inversa existente entre a derivação e integração das funções. Esta propriedade permite obter fórmulas de integração a partir da diferenciação. O que permite a verificação de integrais através das mesmas derivadas.
No entanto (xdois + x) não é a única função cuja derivada é igual a (2x + 1).
Onde 1, 2, 3 e 4 representam primitivas particulares de f (x) = 2x + 1. Enquanto 5 representa a integral indefinida ou primitiva de f (x) = 2x + 1.
As primitivas de uma função são alcançadas por meio da antiderivação ou processo integral. Onde F será uma primitiva de f se o seguinte for verdadeiro
Pode-se observar que uma função possui uma única derivada, ao contrário de suas infinitas primitivas resultantes da integração.
∫ f (x) dx = F (x) + C
Corresponde a uma família de curvas com o mesmo padrão, que experimentam incongruência no valor das imagens de cada ponto (x, y). Cada função que atende a este padrão será uma primitiva individual e o conjunto de todas as funções é conhecido como integral indefinida.
O valor do constante de integração será aquele que diferencia cada função na prática.
O constante de integração sugere um deslocamento vertical em todos os gráficos que representam as primitivas de uma função. Onde o paralelismo entre eles é observado, e o fato de que C é o valor do deslocamento.
De acordo com as práticas comuns, o constante de integração é denotado pela letra "C" após um adendo, embora na prática não importe se a constante é adicionada ou subtraída. Seu valor real pode ser encontrado de várias maneiras de acordo com diferentes condições iniciais.
Já foi falado sobre como o constante de integração é aplicado no ramo de cálculo integral; Representando uma família de curvas que definem a integral indefinida. Mas muitas outras ciências e ramos atribuíram valores muito interessantes e práticos da constante de integração, que têm facilitado o desenvolvimento de múltiplos estudos.
No fisica a constante de integração pode assumir vários valores, dependendo da natureza dos dados. Um exemplo muito comum é conhecer a função V (t) que representa o velocidade de uma partícula em função do tempo t. Sabe-se que ao calcular uma primitiva de V (t) a função é obtida R (t) que representa o posição partícula contra o tempo.
O constante de integração irá representar o valor da posição inicial, ou seja, no tempo t = 0.
Da mesma forma, se a função é conhecida No) que representa o aceleração da partícula em função do tempo. A primitiva de A (t) resultará na função V (t), onde o constante de integração será o valor da velocidade inicial V0.
No economia, obtendo por meio de integração a primitiva de uma função de custo. O constante de integração representará custos fixos. E tantas outras aplicações que merecem cálculo diferencial e integral.
Para calcular o constante de integração, sempre será necessário conhecer o condições iniciais. Que são responsáveis por definir qual das primitivas possíveis é a correspondente.
Em muitas aplicações, é tratado como uma variável independente no tempo (t), onde a constante C pega os valores que definem o condições iniciais do caso particular.
Se tomarmos o exemplo inicial: ∫ (2x + 1) dx = xdois + x + C
Uma condição inicial válida pode ser a condição de que o gráfico passe por uma coordenada específica. Por exemplo, sabe-se que o primitivo (xdois + x + C) passa pelo ponto (1, 2)
F (x) = xdois + x + C; esta é a solução geral
F (1) = 2
Substituímos a solução geral nesta igualdade
F (1) = (1)dois + (1) + C = 2
De onde isso facilmente segue C = 0
Desta forma, a primitiva correspondente para este caso é F (x) = xdois + x
Existem vários tipos de exercícios numéricos que funcionam com constantes de integração. Na verdade, o cálculo diferencial e integral não para de ser aplicado nas investigações atuais. Em diferentes níveis acadêmicos, eles podem ser encontrados; desde o cálculo inicial, passando pela física, química, biologia, economia, entre outros.
Também é visto no estudo de equações diferenciais, onde o constante de integração Pode assumir diferentes valores e soluções, isto devido às múltiplas derivações e integrações que são realizadas nesta matéria..
É sabido que em um movimento retilíneo uniformemente variado a aceleração é um valor constante. É o caso do lançamento de projéteis, onde a aceleração será da gravidade
g = - 10 m / sdois
Sabe-se também que a aceleração é a segunda derivada da posição, o que indica uma dupla integração na resolução do exercício, obtendo-se assim duas constantes de integração.
A (t) = -10
V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C1
As condições iniciais do exercício indicam que a velocidade inicial é V0 = 25 m / s. Esta é a velocidade no instante do tempo t = 0. Desta forma, fica satisfeito que:
V (0) = 25 = -10 (0) + C1 Y C1 = 25
A função de velocidade sendo definida
V (t) = -10t + 25; A semelhança com a fórmula MRUV (VF = V0 + a x t)
De forma homóloga, passamos a integrar a função velocidade para obter a expressão que define a posição:
R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5tdois + 25t + Cdois
R (t) = -5tdois + 25t + Cdois (posição primitiva)
A posição inicial R (0) = 30 m é conhecida. Em seguida, o primitivo particular do projétil é calculado.
R (0) = 30m = -5 (0)dois + 25 (0) + Cdois . Onde Cdois = 30
A primeira seção está resolvida desde R (t) = -5tdois + 25t + 30 ; Esta expressão é homóloga à fórmula de deslocamento em MRUV R (t) = R0 + V0t - gtdois/dois
Para a segunda seção, a equação quadrática deve ser resolvida: -5tdois + 25t + 30 = 0
Uma vez que isso condiciona a partícula a atingir o solo (posição = 0)
Na verdade, a equação de 2º grau nos dá 2 soluções T: 6, -1. O valor t = -1 é ignorado porque é unidades de tempo cujo domínio não inclui números negativos.
Desta forma, a segunda seção é resolvida onde o tempo de vôo é igual a 6 segundos.
Com a informação da segunda derivada f "(x) = 4, o processo de antiderivação começa
f '(x) = ∫f "(x) dx
∫4 dx = 4x + C1
Então, conhecendo a condição f '(2) = 2, procedemos:
4 (2) + C1 = 2
C1 = -6 e f '(x) = 4x - 8
Proceda da mesma forma para o segundo constante de integração
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2xdois - 8x + Cdois
A condição inicial f (0) = 7 é conhecida e procedemos:
2 (0)dois - 8 (0) + Cdois = 7
Cdois = 7 e f (x) = 2xdois - 8x + 7
De forma semelhante ao problema anterior, definimos as primeiras derivadas e a função original a partir das condições iniciais.
f '(x) = ∫f "(x) dx
∫ (xdois) dx = (x3/ 3) + C1
Com a condição f '(0) = 6 procedemos:
(03/ 3) + C1 = 6; Onde1 = 6 ef '(x) = (x3/ 3) + 6
Depois o segundo constante de integração
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ [(x3/ 3) + 6] dx = (x4/ 12) + 6x + Cdois
A condição inicial f (0) = 3 é conhecida e procedemos:
[(0)4/ 12] + 6 (0) + Cdois = 3; Ondedois = 3
Assim, obtemos o particular primitivo
f (x) = (x4/ 12) + 6x + 3
É importante lembrar que as derivadas se referem à inclinação da reta tangente à curva em um determinado ponto. Onde não é correto assumir que o gráfico da derivada toca o ponto indicado, pois este pertence ao gráfico da função primitiva.
Desta forma, expressamos a equação diferencial da seguinte forma:
dy = (2x - 2) dx ; então, ao aplicar os critérios anti-derivação, temos:
∫dy = ∫ (2x - 2) dx
y = xdois - 2x + C
Aplicando a condição inicial:
2 = (3)dois - 2 (3) + C
C = -1
Se obtem: f (x) = xdois - 2x - 1
Expressamos a equação diferencial da seguinte forma:
dy = (3xdois - 1) dx ; então, ao aplicar os critérios anti-derivação, temos:
∫dy = ∫ (3xdois - 1) dx
y = x3 - x + C
Aplicando a condição inicial:
2 = (0)dois - 2 (0) + C
C = 2
Se obtem: f (x) = x3 - x + 2
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