As coordenadas cilíndricas eles servem para localizar pontos no espaço tridimensional e consistem em uma coordenada radial ρ, uma coordenada azimutal φ e uma coordenada de altura z.
Um ponto P localizado no espaço é projetado ortogonalmente no plano XY dando origem ao ponto P ' naquele avião. A distância da origem ao ponto P ' define a coordenada ρ, enquanto o ângulo formado pelo eixo X com o raio OP ' define a coordenada φ. Finalmente, a coordenada z é a projeção ortogonal do ponto P no eixo Z. (ver figura 1).
A coordenada radial ρ é sempre positiva, a coordenada azimutal φ varia de zero radianos a dois pi radianos, enquanto a coordenada z pode assumir qualquer valor real:
0 ≤ ρ < ∞
0 ≤ φ < 2π
- ∞ < z < + ∞
Índice do artigo
É relativamente fácil obter as coordenadas cartesianas (x, y, z) de um ponto P a partir de suas coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z):
x = ρ cos (φ)
y = ρ sen (φ)
z = z
Mas também é possível obter as coordenadas polares (ρ, φ, z) a partir do conhecimento das coordenadas cartesianas (x, y, z) de um ponto P:
ρ = √ (xdois + Ydois)
φ = arctan (y / x)
z = z
A base dos vetores unitários cilíndricos é definida Uρ, Uφ, Uz.
O vetor Uρ é tangente à linha φ = ctte e z = ctte (apontando radialmente para fora), o vetor Uφ é tangente à linha ρ = ctte ez = ctte e finalmente Uz tem a mesma direção do eixo Z.
Na base da unidade cilíndrica, o vetor posição r de um ponto P é escrito vetorialmente assim:
r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz
Por outro lado, um deslocamento infinitesimal dr do ponto P é expresso da seguinte forma:
dr = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz
Da mesma forma, um elemento infinitesimal de volume dV em coordenadas cilíndricas é:
dV = ρ dρ dφ dz
Existem inúmeros exemplos de uso e aplicação de coordenadas cilíndricas. Na cartografia, por exemplo, o projeção cilíndrica, com base precisamente nessas coordenadas. Existem mais exemplos:
As coordenadas cilíndricas têm aplicações em tecnologia. Como exemplo, temos o sistema CHS (Cylinder-Head-Sector) para localização de dados em um disco rígido, que na verdade consiste em vários discos:
- O cilindro ou pista corresponde à coordenada ρ.
- O setor corresponde à posição φ do disco que gira em alta velocidade angular.
- A cabeça corresponde à posição z da cabeça de leitura no disco correspondente.
Cada byte de informação tem um endereço preciso em coordenadas cilíndricas (C, S, H).
Os guindastes de construção fixam a posição da carga em coordenadas cilíndricas. A posição horizontal é definida pela distância ao eixo ou seta do guindaste ρ e por sua posição angular φ em relação a algum eixo de referência. A posição vertical da carga é determinada pela coordenada z da altura.
Existem os pontos P1 com coordenadas cilíndricas (3, 120º, -4) e o ponto P2 com coordenadas cilíndricas (2, 90º, 5). Encontre o Distância euclidiana entre esses dois pontos.
Solução: Primeiro, procedemos para encontrar as coordenadas cartesianas de cada ponto seguindo a fórmula dada acima.
P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)
P2 = (2 * cos 90º, 2 * sen 90º, 5) = (0, 2, 5)
A distância euclidiana entre P1 e P2 é:
d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5))dois+(2 - 2,60)dois+(5 - (- 4))dois ) = ...
… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14
O ponto P possui coordenadas cartesianas (-3, 4, 2). Encontre as coordenadas cilíndricas correspondentes.
Solução: Prosseguimos para encontrar as coordenadas cilíndricas usando as relações fornecidas acima:
ρ = √ (xdois + Ydois) = √ ((- 3)dois + 4dois) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5
φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º
z = 2
Deve ser lembrado que a função arco tangente é multivalorada com periodicidade de 180º. Além disso, o ângulo φ deve pertencer ao segundo quadrante, uma vez que as coordenadas xey do ponto P estão nesse quadrante. Esta é a razão pela qual 180º foi adicionado ao resultado φ.
Expressa em coordenadas cilíndricas e em coordenadas cartesianas a superfície de um cilindro de raio 2 e cujo eixo coincide com o eixo Z.
Solução: Entende-se que o cilindro possui extensão infinita na direção z, portanto a equação da referida superfície em coordenadas cilíndricas é:
ρ = 2
Para obter a equação cartesiana da superfície cilíndrica, o quadrado de ambos os membros da equação anterior é tomado:
ρdois = 4
Multiplicamos por 1 ambos os membros da igualdade anterior e aplicamos o identidade trigonométrica fundamental (sendois(φ) + cosdois(φ) = 1):
1 * ρdois = 1 * 4
(sendois(φ) + cosdois(φ)) * ρdois = 1 * 4
O parêntese é desenvolvido para obter:
(ρ sen (φ))dois + (ρ cos (φ))dois = 4
Lembramos que o primeiro parênteses (ρ sin (φ)) é a coordenada y de um ponto em coordenadas polares, enquanto os parênteses (ρ cos (φ)) representam a coordenada x, de modo que temos a equação do cilindro em coordenadas cartesianas:
Ydois + xdois = 2dois
A equação anterior não deve ser confundida com a de um círculo no plano XY, pois neste caso teria a seguinte aparência: ydois + xdois = 2dois ; z = 0.
Um cilindro de raio R = 1 me altura H = 1m tem sua massa distribuída radialmente de acordo com a seguinte equação D (ρ) = C (1 - ρ / R) onde C é uma constante de valor C = 1 kg / m3. Encontre a massa total do cilindro em quilogramas.
Solução: A primeira coisa é perceber que a função D (ρ) representa a densidade de massa volumétrica, e que a densidade de massa é distribuída em cascas cilíndricas de densidade decrescente do centro para a periferia. Um elemento infinitesimal de volume de acordo com a simetria do problema é:
dV = ρ dρ 2π H
Portanto, a massa infinitesimal de uma casca cilíndrica será:
dM = D (ρ) dV
Portanto, a massa total do cilindro será expressa pela seguinte integral definida:
M = ∫ouR D (ρ) dV = ∫ouR C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π H C ∫ouR (1 - ρ / R) ρ dρ
A solução da integral indicada não é difícil de obter, sendo o seu resultado:
∫ouR (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) Rdois
Incorporando este resultado na expressão da massa do cilindro, obtemos:
M = 2π H C (⅙) Rdois = ⅓ π H C Rdois =
⅓ π 1m * 1kg / m3* 1mdois = π / 3 kg ≈ 1,05 kg
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