O círculo unitário é um círculo de raio igual a 1, que geralmente é centralizado no ponto (0,0) do sistema de coordenadas cartesianas xy. Usado para definir facilmente as proporções trigonométricas dos ângulos usando triângulos retângulos.
A equação do círculo unitário centrado na origem é:
xdois + Ydois = 1
Na figura 1 temos o círculo unitário, em que cada quarto está em um quadrante. Os quadrantes são numerados com algarismos romanos e contados no sentido anti-horário.
No primeiro quadrante, existe um triângulo. As pernas, em vermelho e azul, medem respectivamente 0,8 e 0,6, enquanto a hipotenusa em verde mede 1, por ser um raio.
O ângulo agudo α é um ângulo central na posição padrão, o que significa que seu vértice coincide com o ponto (0,0) e seu lado inicial com o eixo x positivo. O ângulo é medido no sentido anti-horário e é atribuído um sinal positivo por convenção.
Bem, no círculo unitário, as coordenadas cosseno e seno de α são, respectivamente, as coordenadas xey do ponto B, que no exemplo mostrado são 0,8 e 0,6.
Destes dois, eles são definidos:
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Se nos limitarmos aos triângulos retângulos, as razões trigonométricas se aplicariam apenas aos ângulos agudos. No entanto, com a ajuda do círculo unitário, o cálculo das razões trigonométricas é estendido para qualquer ângulo α.
Para isso, é necessário primeiro definir o conceito de ângulo de referência αR:
Seja α um ângulo na posição padrão (aquele cujo lado de partida coincide com o eixo x positivo), seu ângulo de referência αR está entre os dele lado terminal e o eixo x. A Figura 2 mostra o ângulo de referência para ângulos nos quadrantes I, II, III e IV.
Para cada quadrante, o ângulo de referência é calculado assim:
-Primeiro quadrante: αR = α
-Segundo quadrante: αR = 180º - α
-Terceiro quadrante: αR = α - 180º
-Quarto quadrante: αR = 360º - α
Observe que no primeiro quadrante o ângulo α coincide com seu ângulo de referência. Bem, as razões trigonométricas do ângulo α são as mesmas do seu ângulo de referência, com os sinais de acordo com aqueles dos quadrantes em que o lado terminal de α cai..
Em outras palavras, as relações trigonométricas cosseno e seno do ângulo α coincidem com as coordenadas do ponto P, conforme figura 2.
Na figura a seguir, vemos as razões trigonométricas de alguns ângulos notáveis, conforme deduzido do círculo unitário.
As relações cosseno e seno de qualquer ângulo no quadrante I são todas positivas. Para α = 60º temos as coordenadas (1/2; √3 / 2), que correspondem respectivamente a cos 60º e sen 60º.
As coordenadas de α = 120º são (-1/2; √3 / 2), uma vez que estando no segundo quadrante, a coordenada x é negativa.
Com a ajuda do círculo unitário e das coordenadas dos pontos P nele, é possível traçar os gráficos das funções cos t e sin t, como veremos a seguir..
Para fazer isso, várias posições do ponto P (t) estão localizadas no círculo unitário. Começaremos com o gráfico da função f (t) = sin t.
Podemos ver que quando vamos de t = 0 para t = π / 2 (90º) o valor de sen t aumenta até atingir 1, que é o valor máximo.
Por outro lado, de t = π / 2 para t = 3π / 2 o valor de sen t diminui de 1, passando por 0 em t = π até atingir seu mínimo de -1 em t = 3π / 2.
A figura mostra o gráfico do primeiro ciclo de f (t) = sin t que corresponde à primeira rodada do círculo unitário, esta função é periódica com período 2π.
Um procedimento análogo pode ser realizado para obter o gráfico da função f (t) = cos t, conforme mostrado na seguinte animação:
-Ambas as funções são contínuas no conjunto dos números reais e também periódicas, de período 2π.
-O domínio das funções f (t) = sin t e f (t) = cos t são todos números reais: (-∞, ∞).
-Para o intervalo ou caminho de seno e cosseno, temos o intervalo [-1,1]. Os colchetes indicam que -1 e 1 estão incluídos.
- Os zeros de sin t são os valores que correspondem a nπ com n inteiro, enquanto os zeros de cos t são [(2n + 1) / 2] com n também inteiro.
-A função f (t) = sin t é ímpar, ela tem simetria em relação à origem enquanto a função cos t é par, sua simetria é em torno do eixo vertical.
Dado cos t = - 2/5, que é a coordenada horizontal do ponto P (t) no círculo unitário no segundo quadrante, obtenha a coordenada vertical correspondente sen t.
Uma vez que P (t) pertence ao círculo unitário, no qual é verdade que:
xdois + Ydois = 1
Portanto:
y = ± √ 1 - xdois
Como P (t) está no segundo quadrante, o valor positivo será considerado. A coordenada vertical do ponto P (t) é y:
y = √ 1 - (-2/5)dois = √0,84
Um modelo matemático para temperatura T em graus Fahrenheit em qualquer dia, t horas depois da meia-noite, é dado por:
T (t) = 50 + 10 sen [(π / 12) × (t - 8)]
Com t entre 0 e 24 horas. Achar:
a) A temperatura às 8h.
b) Horas durante as quais T (t) = 60ºF
c) Temperaturas máximas e mínimas.
Substituímos t = 8 na função dada:
T (8) = 50 + 10 sin [(π / 12) × (t-8)] = 50 + 10 sin [(π / 12) × (8-8)] =
= 50 + 10 x sen 0 = 50 ºF
50 + 10 sin [(π / 12) × (t-8)] = 60
É uma equação trigonométrica e devemos resolver para o "t" desconhecido:
10 sen [(π / 12) × (t-8)] = 60 - 50 = 10
sin [(π / 12) × (t-8)] = 1
Sabemos que sin π / 2 = 1, portanto, o argumento do seno deve ser 1:
(π / 12) × (t-8) = π / 2
t-8 = 6
t = 14 h
Conclui-se que 14 horas após a meia-noite a temperatura é de 60º, ou seja, 14h. Não há outro horário ao longo do dia (24 horas) em que isso aconteça.
A temperatura máxima corresponde ao valor no qual sin [(π / 12) × (t-8)] = 1 e é 60ºF. Por outro lado, o mínimo ocorre se sin [(π / 12) × (t-8)] = -1 e é 40ºF.
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