Diferença de cubos, fórmulas, equações, exemplos, exercícios

O diferença de cubos é uma expressão algébrica binomial da forma a³ - b³, onde os termos a e b podem ser números reais ou expressões algébricas de vários tipos. Um exemplo de diferença de cubos é: 8 - x³, já que 8 pode ser escrito como 2³.

Geometricamente, podemos pensar em um cubo grande, com lado a, do qual o cubo pequeno com lado b é subtraído, conforme ilustrado na figura 1:

O volume da figura resultante é precisamente uma diferença de cubos:

V = a³ - b³

Para encontrar uma expressão alternativa, observa-se que esta figura pode ser decomposta em três prismas, conforme mostrado a seguir:

Um prisma tem um volume dado pelo produto de suas três dimensões: largura x altura x profundidade. Desta forma, o volume resultante é:

V = a³ - b³ = a^dois.b + b³ + a.b^dois

O fator b é comum à direita. Além disso, na figura mostrada acima, é particularmente verdade que:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Portanto, pode-se dizer que: b = a - b. Desta forma:

para³ - b³ = b (a^dois + b^dois +a.b) = (a-b) (a^dois + a.b + b^dois)

Esta forma de expressar a diferença dos cubos provará ser muito útil em muitas aplicações e teria sido obtida da mesma forma, mesmo que o lado do cubo que faltava no canto fosse diferente de b = a / 2.

Observe que o segundo parêntesese parece muito com o produto notável do quadrado da soma, mas o termo cruzado não é multiplicado por 2. O leitor pode desenvolver o lado certo para verificar se ele foi realmente obtido para³ - b³.

Índice do artigo

• 1 exemplos
  • 1.1 Fatorando a diferença de cubos
• 2 Exercício resolvido
  • 2.1 Exercício 1
  • 2.2 Exercício 2
• 3 referências

Exemplos

Existem várias diferenças de cubos:

1 - m⁶

para⁶b³ - 8z¹²Y⁶

(1/125) .x⁶ - 27 e⁹

Vamos analisar cada um deles. No primeiro exemplo, o 1 pode ser escrito como 1 = 1³ e o termo m⁶ permanece: (m^dois)³. Ambos os termos são cubos perfeitos, portanto, sua diferença é:

1 - m⁶ = 1³ - (m^dois)³

No segundo exemplo, os termos são reescritos:

para⁶b³ = (a^doisb)³

8z¹²Y⁶ = 2³ (z⁴)³ (Y^dois)³ = (2z⁴Y^dois)³

A diferença desses cubos é: (a^doisb)³ - (2z⁴Y^dois)³.

Finalmente, a fração (1/125) é (1/5³), x⁶ = (x^dois)³, 27 = 3³ e e⁹ = (e³)³. Substituindo tudo isso na expressão original, você obtém:

(1/125) .x⁶  - 27 anos⁹ = [(1/5) (x^dois)]³ - (3 anos³)³

Fatorando uma diferença de cubos

Fatorar a diferença de cubos simplifica muitas operações algébricas. Para isso, basta utilizar a fórmula deduzida acima:

Agora, o procedimento para aplicar esta fórmula consiste em três etapas:

- Primeiro, a raiz cúbica de cada um dos termos da diferença é obtida.

- Em seguida, o binômio e o trinômio que aparecem no lado direito da fórmula são construídos.

- Por fim, o binômio e o trinômio são substituídos para obter a fatoração definitiva..

Vamos ilustrar o uso dessas etapas com cada um dos exemplos de diferença de cubos propostos acima e assim obter seu equivalente fatorado.

Exemplo 1

Fatore a expressão 1 - m⁶   seguindo as etapas descritas. Começamos reescrevendo a expressão como 1 - m⁶ = 1³ - (m^dois)³ para extrair as respectivas raízes cúbicas de cada termo:

Em seguida, o binômio e o trinômio são construídos:

a = 1

b = m^dois

Então:

a - b = 1 - m^dois

 (para^dois +a.b + b^dois) = 1^dois + 1 m^dois + (m^dois)^dois = 1 + m^dois + m⁴

 Finalmente, é substituído na fórmula a³ - b³ = (a-b) (a^dois +a.b + b^dois):

1 - m⁶ = (1 - m^dois) (1 + m^dois + m⁴)

Exemplo 2

Fatorar:

para⁶b³ -8z¹²Y⁶ = (a^doisb)³ - (2z⁴Y^dois)³

Uma vez que estes são cubos perfeitos, as raízes do cubo são imediatas: a^doisbe 2z⁴Y^dois, portanto, segue-se que:

- Binomial: a^doisb - 2z⁴Y^dois

- Trinomial: (a^doisb)^dois + para^doisb. 2z⁴Y^dois + (para^doisb + 2z⁴Y^dois)^dois

 E agora a fatoração desejada é construída:

para⁶b³ -8z¹²Y⁶ = (a^doisb - 2z⁴Y^dois) [(para^doisb)^dois + para^doisb. 2z⁴Y^dois + (para^doisb + 2z⁴Y^dois)^dois] =

= (a^doisb - 2z⁴Y^dois) [para⁴b^dois + 2ª^doisbeleza⁴Y^dois + (para^doisb + 2z⁴Y^dois)^dois]

Em princípio, o factoring está pronto, mas muitas vezes é necessário simplificar cada termo. Em seguida, desenvolvemos o produto notável -quadrado de uma soma- que aparece no final e adicionamos termos semelhantes. Lembrando que o quadrado de uma soma é:

(x + y)^dois = x^dois + 2xy + e^dois

O produto notável à direita é desenvolvido assim:

(para^doisb + 2z⁴Y^dois)^dois = a⁴b^dois + 4º^doisbeleza⁴Y^dois + 4z⁸Y⁴

 Substituindo a expansão obtida na fatoração da diferença de cubos:

para⁶b³ -8z¹²Y⁶ = (a^doisb - 2z⁴Y^dois) [para⁴b^dois + 2ª^doisbeleza⁴Y^dois + para⁴b^dois + 4º^doisbeleza⁴Y^dois + 4z⁸Y⁴] =

Finalmente, agrupando como termos e fatorando os coeficientes numéricos, que são todos pares, obtemos:

(para^doisb - 2z⁴Y^dois) [2a⁴b^dois + 6º^doisbeleza⁴Y^dois + 4z⁸Y⁴] = 2 (a^doisb - 2z⁴Y^dois) [para⁴b^dois + 3ª^doisbeleza⁴Y^dois + 2z⁸Y⁴]

Exemplo 3

Fator (1/125) .x⁶  - 27 anos⁹ é muito mais simples do que o caso anterior. Primeiro, os equivalentes de a e b são identificados:

a = (1/5) x^dois

b = 3y³

Em seguida, eles são substituídos diretamente na fórmula:

(1/125) .x⁶  - 27 anos⁹ = [(1/5) x^dois - 3 anos³] [(1/25) x⁴ + (3/5) x^doisY³ + 9 anos⁶]

Exercício resolvido

A diferença de cubos tem, como dissemos, uma variedade de aplicações em Álgebra. Vamos ver alguns:

Exercício 1

Resolva as seguintes equações:

a) x⁵ - 125 x^dois = 0

b) 64 - 729 x³ = 0

Solução para

Primeiro, a equação é fatorada desta maneira:

x^dois (x³ - 125) = 0

Como 125 é um cubo perfeito, os parênteses são escritos como uma diferença de cubos:

x^dois . (x³ - 5³) = 0

A primeira solução é x = 0, mas encontraremos mais se fizermos x³ - 5³ = 0, então:

x³ = 5³ → x = 5

Solução b

O lado esquerdo da equação é reescrito como 64 - 729 x³ = 4³ - (9x)³. Portanto:

4³ - (9x)³ = 0

Já que o expoente é o mesmo:

9x = 4 → x = 9/4

Exercício 2

Fatore a expressão:

(x + y)³ - (x - y)³

Solução

Esta expressão é uma diferença de cubos, se na fórmula de fatoração notarmos que:

a = x + y

b = x- y

Em seguida, o binômio é construído primeiro:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

E agora o trinômio:

para^dois + a.b + b^dois = (x + y)^dois + (x + y) (x-y) + (x-y)^dois

Produtos notáveis ​​são desenvolvidos:

(x + y)^dois = x^dois + 2xy + e^dois

(x + y) (x-y) = x^dois- Y^dois

(x- y)^dois = x^dois - 2xy + e^dois

Em seguida, você deve substituir e reduzir os termos semelhantes:

para^dois + a.b + b^dois = x^dois + 2xy + e^dois+ x^dois- Y^dois+ x^dois - 2xy + e^dois = 3x^dois + Y^dois

Resultados de fatoração em:

(x + y)³ - (x - y)³ = 2y. (3x^dois + Y^dois)

Referências

1. Baldor, A. 1974. Algebra. Editorial Cultural Venezolana S.A.
2. Fundação CK-12. Soma e diferença de cubos. Recuperado de: ck12.org.
3. Khan Academy. Fatoração de diferenças de cubos. Recuperado de: es.khanacademy.org.
4. Matemática é divertido avançado. Diferença de dois cubos. Recuperado de: mathsisfun.com
5. UNAM. Fatorando uma diferença de cubos. Recuperado de: dcb.fi-c.unam.mx.