O distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade pela qual a probabilidade de ocorrência de eventos é calculada, desde que ocorram sob duas modalidades: sucesso ou fracasso.
Essas designações (sucesso ou fracasso) são completamente arbitrárias, uma vez que não significam necessariamente coisas boas ou ruins. Durante este artigo iremos indicar a forma matemática da distribuição binomial e então o significado de cada termo será explicado em detalhes.
Índice do artigo
A equação é a seguinte:
Com x = 0, 1, 2, 3… .n, onde:
- P (x) é a probabilidade de ter exatamente x sucessos entre n tentativas ou ensaios.
- x é a variável que descreve o fenômeno de interesse, correspondendo ao número de sucessos.
- n o número de tentativas
- p é a probabilidade de sucesso em 1 tentativa
- o que é a probabilidade de falha em 1 tentativa, portanto q = 1 - p
O ponto de exclamação "!" é usado para notação fatorial, então:
0! = 1
1! = 1
dois! = 2,1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
E assim por diante.
A distribuição binomial é muito apropriada para descrever situações em que um evento ocorre ou não. Se ocorrer, é um sucesso e, se não, é um fracasso. Além disso, a probabilidade de sucesso deve sempre permanecer constante..
Existem fenômenos que se enquadram nessas condições, por exemplo, o lançamento de uma moeda. Nesse caso, podemos dizer que "sucesso" é ganhar um rosto. A probabilidade é ½ e não muda, não importa quantas vezes a moeda seja jogada..
O lançamento de um dado honesto é outro bom exemplo, além de categorizar uma determinada produção em peças boas e peças defeituosas e obter um vermelho em vez de um preto ao girar uma roleta..
Podemos resumir as características da distribuição binomial da seguinte forma:
- Qualquer evento ou observação é extraído de uma população infinita sem reposição ou de uma população finita com reposição.
- Apenas duas opções mutuamente exclusivas são consideradas: sucesso ou fracasso, conforme explicado no início.
- A probabilidade de sucesso deve ser constante em qualquer observação feita.
- O resultado de qualquer evento é independente de qualquer outro evento.
- A média da distribuição binomial é n.p
- O desvio padrão é:
Vamos pegar um evento simples, que pode obter 2 caras 5 jogando um dado honesto 3 vezes. Qual é a probabilidade de que em 3 jogadas 2 caras de 5 sejam obtidas?
Existem várias maneiras de fazer isso, por exemplo:
- Os primeiros dois lançamentos são 5 e o último não é.
- O primeiro e o último são 5, mas não o do meio.
- Os dois últimos lançamentos são 5 e o primeiro não.
Vamos pegar a primeira sequência descrita como exemplo e calcular sua probabilidade de ocorrência. A probabilidade de obter 5 caras no primeiro lançamento é de 1/6, e também no segundo lançamento, uma vez que são eventos independentes.
A probabilidade de obter outra cabeça diferente de 5 no último lançamento é de 1 - 1/6 = 5/6. Portanto, a probabilidade de que essa sequência ocorra é o produto das probabilidades:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
E as outras duas sequências? Eles têm a mesma probabilidade: 0,023.
E como temos um total de 3 sequências de sucesso, a probabilidade total será:
P (2 caras 5 em 3 lançamentos) = Número de sequências possíveis x probabilidade de uma sequência particular = 3 x 0,023 = 0,069.
Agora vamos tentar o binômio, em que é feito:
x = 2 (obter 2 caras de 5 em 3 lançamentos é um sucesso)
n = 3
p = 1/6
q = 5/6
Existem várias maneiras de resolver os exercícios de distribuição binomial. Como vimos, o mais simples pode ser resolvido contando quantas sequências de sucesso existem e, em seguida, multiplicando pelas respectivas probabilidades.
Porém, quando há muitas opções, os números ficam maiores e é preferível usar a fórmula.
E se os números forem ainda maiores, existem tabelas da distribuição binomial. No entanto, eles agora estão obsoletos em favor dos muitos tipos de calculadoras que facilitam o cálculo..
Um casal tem filhos com uma probabilidade de 0,25 de ter sangue do tipo O. O casal tem um total de 5 filhos. Resposta: a) Esta situação se encaixa em uma distribuição binomial? B) Qual é a probabilidade de que exatamente 2 deles sejam do tipo O?
a) A distribuição binomial é ajustada, desde que atenda às condições estabelecidas nas seções anteriores. Existem duas opções: ter sangue do tipo O é "sucesso", enquanto não ter sangue é "fracasso", e todas as observações são independentes..
b) Temos a distribuição binomial:
x = 2 (obtenha 2 crianças com sangue tipo O)
n = 5
p = 0,25
q = 0,75
Uma universidade afirma que 80% dos alunos do time de basquete universitário se formam. Uma investigação examina o histórico escolar de 20 alunos pertencentes ao referido time de basquete que se inscreveram na universidade há algum tempo.
Destes 20 alunos, 11 concluíram o curso e 9 desistiram.
Se a afirmação da universidade for verdadeira, o número de alunos que jogam basquete e se formam, em 20, deve ter uma distribuição binomial com n = 20 Y p = 0,8. Qual é a probabilidade de exatamente 11 dos 20 jogadores se formarem??
Na distribuição binomial:
x = 11
n = 20
p = 0,8
q = 0,2
Os pesquisadores realizaram um estudo para determinar se havia diferenças significativas nas taxas de graduação entre estudantes de medicina admitidos em programas especiais e estudantes de medicina admitidos por critérios regulares de admissão..
A taxa de graduação encontrada foi de 94% para estudantes de medicina admitidos em programas especiais (com base em dados do Journal of the American Medical Association).
Se 10 dos alunos de programas especiais forem selecionados aleatoriamente, encontre a probabilidade de que pelo menos 9 deles tenham se formado.
b) Seria incomum selecionar aleatoriamente 10 alunos de programas especiais e descobrir que apenas 7 deles se formaram??
A probabilidade de um aluno admitido em um programa especial se formar é 94/100 = 0,94. São escolhidos n = 10 alunos de programas especiais e você deseja descobrir a probabilidade de que pelo menos 9 deles se formem.
Os seguintes valores são então substituídos na distribuição binomial:
x = 9
n = 10
p = 0,94
b)
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