Uma variável aleatória tem um distribuição uniforme contínua se a probabilidade de assumir um valor, dentro de um intervalo finito [a, b], é a mesma para qualquer subintervalo de igual comprimento.
Essa distribuição é análoga à distribuição uniforme discreta, que atribuiu a mesma probabilidade a cada resultado do experimento aleatório, mas neste caso a variável a ser considerada é contínua. Por exemplo, o experimento que consiste em selecionar um número real ao acaso, entre os valores a e b, segue a distribuição uniforme. Aqui está seu gráfico:
Em notação matemática, a distribuição uniforme contínua tem uma função de densidade definida como uma função por partes ou por partes, que pode ser escrita como:
O gráfico desta função, conhecido como curva de densidade ou função, é um retângulo, portanto, a distribuição uniforme contínua também é conhecida como layout retangular y é a mais simples das distribuições contínuas.
A área sob o gráfico de uma distribuição de probabilidade é igual a 1 e sempre assume valores positivos. A distribuição uniforme atende a esses critérios. Não é necessário integrar diretamente para verificar se a área é 1, uma vez que a área do retângulo sombreado na Figura 1 pode ser calculada usando a fórmula:
Área = base x altura = (b - a) x [1 / (b - a)] = 1
Conhecer a área sob a curva de densidade é muito importante, pois existe uma relação entre a área e a probabilidade de ocorrência de um evento, que para esta distribuição é determinada na próxima seção.
A distribuição uniforme contínua é caracterizada por:
Seja X a variável aleatória contínua, que pertence ao intervalo [a, b], então:
A função de distribuição calcula a probabilidade de que a variável aleatória X tome um valor x dentre os valores possíveis do intervalo [a, b]. Para uma distribuição contínua, geralmente é calculado assim:
No caso da distribuição uniforme contínua, a referida probabilidade F (x) é igual à área do retângulo cuja base é (x-a) e sua altura é (b-a):
Matematicamente, se F (x) = Pr (X = x) a seguinte função é estabelecida em partes, de acordo com o resultado anterior:
Desse modo, verifica-se o que foi dito antes: a probabilidade depende apenas do valor de (x-a) e não de sua localização no intervalo [a, b]. O gráfico da função de distribuição é:
Depois de fazer vários experimentos com a variável aleatória contínua, seu valor médio é chamado valor esperado, é denotado como E (X) e é calculado pelo seguinte integral:
V (X) = E (Xdois) - E (X)dois
Portanto:
D (X) = √ V (X)
Pode-se verificar facilmente que a mediana, que é o valor central da distribuição uniforme, é igual à média, e uma vez que não há valor que se repete mais que os outros, já que todos são igualmente prováveis no intervalo [a, b] , a moda não existe.
Em relação à simetria, a distribuição uniforme é simétrica e a curtose, que é o grau em que os valores se concentram em torno do centro, é -6/5.
Várias situações podem ser modeladas por meio de distribuição contínua e, portanto, seu comportamento pode ser previsto. aqui estão alguns exemplos:
Uma empresa prestadora de serviço elétrico fornece níveis de tensões uniformemente distribuídos, entre 123,0 V e 125,0 V. Isso significa que na tomada doméstica é possível obter qualquer valor de tensão que pertença a essa faixa..
Então, como visto acima, o gráfico da função de densidade é o retângulo em vermelho:
Calcular a probabilidade de ter uma tensão dentro do intervalo dado é muito fácil, por exemplo, qual é a probabilidade de a empresa enviar uma tensão menor que 123,5 V?
Essa probabilidade é igual à área do retângulo sombreado em azul:
P (X<123.5) = (123.5 −123.0)x 0.5 = 0.25
E qual é a probabilidade de que a tensão fornecida seja superior a 124,0 V?
Como a área total é igual a 1, a probabilidade buscada é:
P (X> 124,0 V) = 1 - (1 × 0,5) = 0,5
Faz sentido, já que 124,0 é precisamente o valor no centro do intervalo.
Uma determinada variável aleatória X tem uma distribuição uniforme no intervalo [0,100]. Decidir:
a) A probabilidade de que o valor de X seja inferior a 22.
b) A probabilidade de X assumir valores entre 20 e 35.
c) O valor esperado, variância e desvio padrão desta distribuição.
É determinado de forma semelhante ao exemplo anterior, mas primeiro devemos determinar a altura do retângulo, lembrando que a área total deve ser igual a 1:
Área = 100 × altura = 1
Portanto, o retângulo tem uma altura igual a 1/100 = 0,01
P (X<22) = 22×0.01 = 0.22
A probabilidade solicitada é igual à área do retângulo cuja largura é (35 - 20) e cuja altura é 0,01:
P (22 Se você preferir ir diretamente para a função de distribuição fornecida acima, basta substituir os valores em: P (20≤X≤35) = F (35) -F (20) Com F (x) dado por: F (x) = (x-a) / (b-a) Os valores a serem inseridos são: a = 0 b = 100 F (35) = (35-0) / (100-0) = 0,35 F (20) = (20-0) / (100-0) = 0,20 P (20≤X≤35) = 0,35-0,20 = 0,15 O valor esperado é: E (X) = (a + b) / 2 = (100 + 0) / 2 = 50 A variação é: V (X) = (b-a)dois/ 12 = (100-0)dois/ 12 = 833,33 E o desvio padrão é: D (X) = √833,33 = 28,87 Esta distribuição é útil ao realizar processos de simulação estatística ou ao trabalhar em eventos cuja frequência de ocorrência é regular.. Algumas linguagens de programação geram números aleatórios entre 0 e 1 e, como pode ser visto nos exemplos anteriores, a distribuição de probabilidade seguida é uniforme. Neste caso, o intervalo a considerar é [0,1]. Se você tem um experimento em que os eventos têm regularidade, como explicado antes, você pode, em princípio, atribuir a cada um a mesma probabilidade de ocorrência. Nesse caso, o modelo probabilístico de distribuição uniforme fornece informações para a análise.. A distribuição uniforme também é usada no arredondamento das diferenças entre os valores observados e os valores reais de uma variável, assumindo uma distribuição uniforme do erro em um dado intervalo, de acordo com o arredondamento, geralmente de -0,5 a +0,5.Resposta c
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Amostragem de distribuições arbitrárias
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Referências
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