As distribuições de probabilidade discretas são uma função que atribui a cada elemento de X (S) = x1, x2,…, xi,…, onde X é uma dada variável aleatória discreta e S é o seu espaço amostral, a probabilidade de que tal evento ocorra. Esta função f de X (S) definida como f (xi) = P (X = xi) é às vezes chamada de função de massa de probabilidade.
Essa massa de probabilidades é geralmente representada em forma de tabela. Como X é uma variável aleatória discreta, X (S) tem um número finito de eventos ou infinito contável. Entre as distribuições de probabilidade discreta mais comuns, temos a distribuição uniforme, a distribuição binomial e a distribuição de Poisson..
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A função de distribuição de probabilidade deve atender às seguintes condições:
Além disso, se X assume apenas um número finito de valores (por exemplo x1, x2, ..., xn), então p (xi) = 0 se i> ny, portanto, a série infinita da condição b torna-se uma série finita.
Esta função também cumpre as seguintes propriedades:
Seja B um evento associado à variável aleatória X. Isso significa que B está contido em X (S). Especificamente, suponha que B = xi1, xi2,…. Portanto:
Em outras palavras: a probabilidade de um evento B é igual à soma das probabilidades dos resultados individuais associados a B.
Disto podemos concluir que se um < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b) son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:
Diz-se que uma variável aleatória X segue uma distribuição caracterizada por ser uniforme em n pontos se a cada valor é atribuída a mesma probabilidade. Sua função de massa de probabilidade é:
Suponha que temos um experimento que tem dois resultados possíveis, pode ser o lançamento de uma moeda cujos resultados possíveis são cara ou coroa, ou a escolha de um número inteiro cujo resultado pode ser um número par ou ímpar; este tipo de experimento é conhecido como testes de Bernoulli.
Em geral, os dois resultados possíveis são chamados de sucesso e fracasso, onde p é a probabilidade de sucesso e 1-p é a probabilidade de fracasso. Podemos determinar a probabilidade de x sucessos em n testes de Bernoulli que são independentes uns dos outros com a seguinte distribuição.
É a função que representa a probabilidade de obtenção de x sucessos em n testes de Bernoulli independentes, cuja probabilidade de sucesso é p. Sua função de massa de probabilidade é:
O gráfico a seguir representa a função de massa de probabilidade para diferentes valores dos parâmetros da distribuição binomial.
A seguinte distribuição deve seu nome ao matemático francês Simeon Poisson (1781-1840), que a obteve como o limite da distribuição binomial.
Diz-se que uma variável aleatória X tem uma distribuição de Poisson do parâmetro λ quando pode assumir os valores inteiros positivos 0,1,2,3, ... com a seguinte probabilidade:
Nesta expressão λ é o número médio correspondente às ocorrências do evento para cada unidade de tempo, e x é o número de vezes que o evento ocorre.
Sua função de massa de probabilidade é:
A seguir, um gráfico que representa a função de massa de probabilidade para diferentes valores dos parâmetros da distribuição de Poisson.
Observe que, desde que o número de sucessos seja baixo e o número de testes realizados em uma distribuição binomial seja alto, podemos sempre aproximar essas distribuições, pois a distribuição de Poisson é o limite da distribuição binomial.
A principal diferença entre essas duas distribuições é que, enquanto o binômio depende de dois parâmetros - a saber, n e p-, o Poisson depende apenas de λ, que às vezes é chamado de intensidade da distribuição..
Até agora, falamos apenas sobre distribuições de probabilidade para casos em que os diferentes experimentos são independentes uns dos outros; ou seja, quando o resultado de um não é afetado por algum outro resultado.
Quando ocorre o caso de haver experimentos não independentes, a distribuição hipergeométrica é muito útil..
Seja N o número total de objetos de um conjunto finito, dos quais podemos identificar k deles de alguma forma, formando assim um subconjunto K, cujo complemento é formado pelos N-k elementos restantes.
Se escolhermos aleatoriamente n objetos, a variável aleatória X que representa o número de objetos pertencentes a K na dita escolha tem uma distribuição hipergeométrica dos parâmetros N, n e k. Sua função de massa de probabilidade é:
O gráfico a seguir representa a função de massa de probabilidade para diferentes valores dos parâmetros da distribuição hipergeométrica.
Suponha que a probabilidade de que um tubo de rádio (colocado em um determinado tipo de equipamento) opere por mais de 500 horas seja de 0,2. Se 20 tubos forem testados, qual é a probabilidade de que exatamente k deles funcionem por mais de 500 horas, k = 0, 1,2, ..., 20?
Se X for o número de tubos que funcionam mais de 500 horas, assumiremos que X tem uma distribuição binomial. Então
E assim:
Para k≥11, as probabilidades são menores que 0,001
Assim, podemos observar como aumenta a probabilidade de que k destes funcionem por mais de 500 horas, até atingir seu valor máximo (com k = 4) e então começar a diminuir..
Uma moeda é lançada 6 vezes. Quando o resultado for caro, diremos que é um sucesso. Qual é a probabilidade de que duas cabeças apareçam exatamente?
Para este caso, temos n = 6 e ambas as probabilidades de sucesso e fracasso são p = q = 1/2
Portanto, a probabilidade de que duas cabeças sejam dadas (ou seja, k = 2) é
Qual é a probabilidade de encontrar pelo menos quatro cabeças?
Para este caso, temos que k = 4, 5 ou 6
Suponha que 2% dos itens produzidos em uma fábrica estejam com defeito. Encontre a probabilidade P de que haja três itens defeituosos em uma amostra de 100 itens.
Para este caso, poderíamos aplicar a distribuição binomial para n = 100 ep = 0,02 obtendo como resultado:
No entanto, como p é pequeno, usamos a aproximação de Poisson com λ = np = 2. A) Sim,
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