UMA eneagon é um polígono com nove lados e nove vértices, que podem ou não ser regulares. O nome eneágono vem do grego e é composto pelas palavras gregas enea (nove e gonon (ângulo).
Um nome alternativo para o polígono de nove lados é nonagon, uma palavra que vem do latim nonus (nove e gonon (vértice). Por outro lado, se os lados ou ângulos do enegon forem desiguais entre si, então temos um enegon irregular. Se, por outro lado, os nove lados e os nove ângulos do enegon são iguais, então é um enegon regular.
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Para um polígono com n lados, a soma de seus ângulos internos é:
(n - 2) * 180º
No enegon seria n = 9, então a soma de seus ângulos internos é:
Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º
Em qualquer polígono, o número de diagonais é:
D = n (n - 3) / 2 e no caso do enegon, uma vez que n = 9, temos então que D = 27.
No eneagono ou nonagon regular, existem nove (9) ângulos internos de igual medida, portanto, cada ângulo mede um nono da soma total dos ângulos internos.
A medida dos ângulos internos de um enegon é então 1260º / 9 = 140º.
Para derivar a fórmula para a área de um enegon regular com lado d é conveniente fazer algumas construções auxiliares, como as mostradas na figura 2.
O centro está localizado OU traçando as bissetoras de dois lados adjacentes. Centro OU equidistante dos vértices.
Um raio de comprimento r é o segmento que sai do centro OU a um vértice do enegon. Os raios são mostrados na figura 2. OD Y OE de comprimento r.
O apótema é o segmento que vai do centro ao ponto médio de um lado do enegon. Por exemplo OJ é um apótema cujo comprimento é para.
Nós consideramos o triângulo TRIBUTO da figura 2. A área deste triângulo é o produto de sua base A PARTIR DE para a altura OJ dividido por 2:
Área TRIBUTO = (DE * JO) / 2 = (d * a) / 2
Como existem 9 triângulos de áreas iguais no enegon, conclui-se que a área do mesmo é:
Área Eneagon = (9/2) (d * a)
Se apenas o comprimento d dos lados do enegon for conhecido, então é necessário encontrar o comprimento do apótema para poder aplicar a fórmula da seção anterior.
Nós consideramos o triângulo OLHO retângulo em J (veja a figura 2). Se a razão trigonométrica tangente for aplicada, obtemos:
tão(∡OEJ) = OJ / Ex.
O ângulo ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, a ser EO bissetriz do ângulo interno do enegon.
Por outro lado, OJ é o apotema de comprimento para.
Então como J é o ponto médio de ED segue que EJ = d / 2.
Substituindo os valores anteriores na relação tangente, temos:
tan (70º) = a / (d / 2).
Agora esclarecemos a duração do apótema:
a = (d / 2) bronzeado (70º).
O resultado anterior é substituído na fórmula da área para obter:
Área Eneagon = (9/2) (d * a) = (9/2)( d * (d / 2) bronzeado (70º))
Finalmente, encontramos a fórmula que permite obter a área do enegon regular se apenas o comprimento for conhecido d de seus lados:
Área Eneagon = (9/4) ddois tan (70º) = 6,1818 ddois
O perímetro de um polígono é a soma de seus lados. No caso do enegon, como cada um dos lados mede um comprimento d, seu perímetro será a soma de nove vezes d, quer dizer:
Perímetro = 9 d
Considerando o triângulo OLHO retângulo em J (ver figura 2), a razão trigonométrica de cosseno é aplicada:
cos (∡OEJ) = Ex / OE = (d / 2) / r
De onde é obtido:
d = 2r cos (70º)
Substituindo este resultado, obtemos a fórmula do perímetro em função do raio do enegon:
Perímetro = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r
1- Para construir um eneagono regular, com régua e compasso, comece pela circunferência c que circunscreve o enegon. (veja a figura 3)
2- Duas linhas perpendiculares são traçadas pelo centro O da circunferência. Em seguida, as interseções A e B de uma das linhas são marcadas com a circunferência.
3- Com a bússola, centralizando na interceptação B e abrindo igual ao raio BO, é desenhado um arco que intercepta a circunferência original em um ponto C.
4- O passo anterior é repetido, mas fazendo um centro em A e raio AO, um arco é desenhado que intercepta a circunferência c no ponto E.
5- Com a abertura AC e centro em A um arco de circunferência é desenhado. Da mesma forma, com a abertura de BE e centro B outro arco é desenhado. A intersecção desses dois arcos é marcada como ponto G.
6- Centrando em G e abrindo GA, é desenhado um arco que intercepta o eixo secundário (horizontal neste caso) no ponto H. A intersecção do eixo secundário com a circunferência original c é marcada como I.
7- O comprimento do segmento IH é igual ao comprimento d da lateral do enegon.
8- Com a abertura da bússola IH = d, os arcos do centro A raio AJ, centro J raio AK, centro K raio KL e centro L raio LP são desenhados sucessivamente.
9- Da mesma forma, partindo de A e do lado direito, traçam-se arcos de raio IH = d que marcam os pontos M, N, C e Q na circunferência original c.
10- Finalmente os segmentos AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ e finalmente PB são desenhados.
Ressalta-se que o método construtivo não é totalmente exato, pois pode-se verificar que o último lado PB é 0,7% mais comprido que os outros lados. Até o momento, não há método conhecido de construção com régua e compasso que seja 100% preciso..
Aqui estão alguns exemplos trabalhados.
Você quer construir um enegon regular cujos lados medem 2 cm. Qual raio deve ter a circunferência que o circunscreve, para que ao aplicar a construção descrita anteriormente, seja obtido o resultado desejado?
Solução:
Em uma seção anterior, a fórmula que relaciona o raio r do círculo circunscrito com o lado d de um enegon regular foi deduzida:
d = 2r cos (70º)
Resolvendo para r a partir da expressão anterior, temos:
r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d
Substituindo o valor d = 2 cm na fórmula anterior, obtém-se um raio r de 2,92 cm.
Qual é a área de um enegon regular com 2 cm de lado?
Solução:
Para responder a esta pergunta, devemos nos referir à fórmula, mostrada anteriormente, que nos permite encontrar a área de um enegon conhecido pelo comprimento d de seu lado:
Área Eneagon = (9/4) ddois tan (70º) = 6,1818 ddois
Substituindo d por seu valor de 2 cm na fórmula anterior, obtemos:
Área Eneagon = 24,72 cm
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