O esperança matemática ou valor esperado do variável aleatória X, é denotado como E (X) e é definido como a soma do produto entre a probabilidade de um evento aleatório ocorrer e o valor do referido evento.
Na forma matemática, é expresso da seguinte forma:
μ = E (X) = ∑ xeu. P (xeu) = x1.P (x1) + xdois.P (xdois) + x3.P (x3) + ...
Onde xeu é o valor do evento e P (xeu) sua probabilidade de ocorrência. A soma se estende por todos os valores que X admite. E se forem finitos, a soma indicada converge para o valor E (X), mas se a soma não convergir, então a variável simplesmente não tem valor esperado.
Quando se trata de uma variável contínua x, a variável pode ter valores infinitos e as integrais substituem as somas:
Aqui f (x) representa o função densidade de probabilidade.
Em geral, a expectativa matemática (que é uma média ponderada) não é igual à média aritmética ou média, a menos que estejamos lidando com distribuições discretas em que cada evento é igualmente provável. Então, e só então:
μ = E (X) = (1 / n) ∑ xeu
Onde n é o número de valores possíveis.
O conceito é muito útil em mercados financeiros e seguradoras, onde muitas vezes faltam certezas, mas existem probabilidades..
Índice do artigo
Dentre as propriedades mais importantes da expectativa matemática, destacam-se as seguintes:
- Assinar: se X for positivo, então E (X) também será.
- Valor esperado de uma constante: o valor esperado de uma constante real k é a constante.
E (k) = k
- Linearidade na soma: a expectativa de uma variável aleatória que por sua vez é a soma de duas variáveis X e Y é a soma das expectativas.
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
- Multiplicação por uma constante: se a variável aleatória tiver a forma kX, Onde k é uma constante (um número real), sai fora do valor esperado.
E (kX) = k E (X)
- Valor esperado do produto e independência entre as variáveis: se uma variável aleatória é o produto das variáveis aleatórias X e Y, que são independentes, então o valor esperado do produto é o produto dos valores esperados.
E (X.Y) = E (X) .E (Y)
- Variável aleatória do formulário Y = aX + b: encontrado aplicando as propriedades anteriores.
E (aX + b) = aE (X) + E (b) = aE (X) + b
Em geral sim Y = g (X):
E (Y) = E [g (X)] = ∑ g (xeu) P [g (xeu)]
- Pedido no valor esperado: se X ≤ Y, então:
E (X) ≤ E (Y)
Uma vez que existem os valores esperados de cada um deles.
Quando o famoso astrônomo Christian Huygens (1629-1695) não estava observando os céus, ele se dedicou a estudar, entre outras disciplinas, a probabilidade nos jogos de azar. Foi ele quem introduziu o conceito de esperança matemática em sua obra de 1656 intitulada: Raciocinando sobre jogos de azar.
Huygens descobriu que as apostas podem ser classificadas de três maneiras, com base no valor esperado:
-Jogos de vantagem: E (X)> 0
-Apostas justas: E (X) = 0
-Jogo com handicap: E (X) < 0
O problema é que em um jogo de azar a expectativa matemática nem sempre é fácil de calcular. E quando você pode, o resultado às vezes é decepcionante para quem se pergunta se deve ou não apostar.
Vamos tentar uma aposta simples: cara ou coroa e o perdedor paga um café de $ 1. Qual é o valor esperado desta aposta?
Bem, a probabilidade de uma cara ser lançada é ½, igual a uma coroa. A variável aleatória é ganhar $ 1 ou perder $ 1, o ganho é denotado pelo sinal + e a perda pelo sinal -.
Organizamos as informações em uma tabela:
Multiplicamos os valores das colunas: 1. ½ = ½ e (-1). ½ = -½ e finalmente os resultados são adicionados. A soma é 0 e é um jogo justo, no qual se espera que os participantes não ganhem nem percam.
A roleta e a loteria francesas são jogos com desvantagens em que a maioria dos apostadores perde. Mais tarde, há uma aposta um pouco mais complexa na seção de exercícios resolvidos.
Aqui estão alguns exemplos simples onde o conceito de expectativa matemática é intuitivo e esclarece o conceito:
Começaremos lançando um dado honesto. Qual é o valor esperado do lançamento? Bem, se o dado for honesto e tiver 6 caras, a probabilidade de qualquer valor (X = 1, 2, 3 ... 6) rolar é de 1/6, assim:
E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5
O valor esperado neste caso é igual à média, pois cada face tem a mesma probabilidade de sair. Mas E (X) não é um valor possível, uma vez que nenhuma cara vale 3,5. Isso é perfeitamente possível em algumas distribuições, embora neste caso o resultado não ajude muito o apostador..
Vamos ver outro exemplo com o lançamento de duas moedas.
Duas moedas honestas são atiradas ao ar e definimos a variável aleatória X como o número de caras que são roladas. Os eventos que podem ocorrer são os seguintes:
-Nenhuma cara surgiu: 0 cara que é igual a 2 coroas.
-Retorna 1 cara e 1 coroa ou coroa.
-2 faces saem.
Seja C uma cabeça e T um selo, o espaço amostral que descreve esses eventos é o seguinte:
Sm = Selo-Selo; Seal-Face; Face-Seal; Face-Face = TT, TC, CT, CC
As probabilidades de os eventos acontecerem são:
P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼
P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½
P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼
A tabela é construída com os valores obtidos:
De acordo com a definição dada no início, a expectativa matemática é calculada como:
μ = E (X) = ∑ xeu. P (xeu) = x1.P (x1) + xdois.P (xdois) + x3.P (x3) + ...
Substituindo valores:
E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1
Este resultado é interpretado da seguinte maneira: se uma pessoa tem tempo suficiente para fazer um grande número de experimentos lançando as duas moedas, espera-se que ela obtenha uma cabeça em cada lançamento..
No entanto, sabemos que lançamentos com 2 rótulos são perfeitamente possíveis..
No lance de duas moedas honestas é feita a seguinte aposta: se 2 caras saírem, $ 3 é ganho, se 1 cara sair, $ 1 é ganho, mas se dois selos saírem, $ 5 devem ser pagos. Calcule a expectativa de vitória da aposta.
A variável aleatória X são os valores que o dinheiro tira na aposta e as probabilidades foram calculadas no exemplo anterior, pois a mesa da aposta é:
E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0
Como o valor esperado é 0, é um jogo justo, então aqui se espera que o apostador não ganhe e nem perca. No entanto, os montantes da aposta podem ser alterados para tornar a aposta um jogo com handicap ou um jogo com handicap..
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