O fator comum por agrupamento de termos é um procedimento algébrico que permite escrever algumas expressões algébricas na forma de fatores. Para atingir este objetivo, é necessário primeiro agrupar a expressão de forma adequada e observar que cada grupo assim formado possui, de fato, um fator comum..
Aplicar a técnica corretamente requer um pouco de prática, mas em pouco tempo você poderá dominá-la. Vejamos primeiro um exemplo ilustrativo descrito passo a passo. Em seguida, o leitor pode aplicar o que aprendeu em cada um dos exercícios que aparecerão mais tarde.
Por exemplo, suponha que você precise fatorar a seguinte expressão:
2xdois + 2xy - 3zx - 3zy
Esta expressão algébrica consiste em 4 monômios ou termos, separados por sinais + e -, a saber:
2xdois, 2xy, -3zx, -3zy
Olhando mais de perto, x é comum aos três primeiros, mas não ao último, enquanto y é comum ao segundo e ao quarto ez é comum ao terceiro e ao quarto..
Portanto, em princípio, não há um fator comum aos quatro termos ao mesmo tempo, mas se eles forem agrupados como será mostrado na próxima seção, é possível que apareça um que ajude a escrever a expressão como o produto de dois ou mais fatores.
Índice do artigo
Fatore a expressão: 2xdois + 2xy - 3zx - 3zy
Passo 1: Grupo
2xdois + 2xy - 3zx - 3zy = (2xdois + 2xy) + (-3zx - 3zy)
Etapa 2: Encontre o fator comum de cada grupo
2xdois + 2xy - 3zx - 3zy =
= (2xdois + 2xy) - (3zx + 3zy) =
= 2x (x + y) - 3z (x + y)
euimportante: o sinal negativo também é um fator comum que deve ser levado em consideração.
Agora observe que os parênteses (x + y) se repetem nos dois termos obtidos por agrupamento. Esse é o fator comum que estava sendo buscado.
Etapa 3: fatorar a expressão inteira
2xdois + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)
Com o resultado anterior, o objetivo da fatoração foi alcançado, que nada mais é do que transformar uma expressão algébrica baseada em adições e subtrações de termos, no produto de dois ou mais fatores, em nosso exemplo, de: (x + y) y (2x - 3z).
Problema 1: Como saber se o resultado está correto?
Responder: A propriedade distributiva é aplicada ao resultado obtido e após redução e simplificação, a expressão assim obtida deve coincidir com a original, caso contrário, há um erro.
No exemplo anterior, trabalhamos ao contrário com o resultado, para verificar se está correto:
(x + y) (2x - 3z) = 2xdois -3zx + 2xy - 3zy
Como a ordem dos adendos não altera a soma, após a aplicação da propriedade distributiva todos os termos originais são devolvidos, sinais incluídos, portanto, a fatoração está correta.
Questão 2: Poderia ter sido agrupado de outra forma?
Responder: Existem expressões algébricas que permitem mais de uma forma de agrupamento e outras que não. No exemplo selecionado, o leitor pode tentar outras possibilidades por conta própria, por exemplo agrupamento como este:
2xdois + 2xy - 3zx - 3zy = (2xdois- 3zx) + (2xy - 3zy)
E você pode verificar se o resultado é o mesmo que foi obtido aqui. Encontrar o agrupamento ideal é uma questão de prática.
Questão 3: Por que é necessário obter um fator comum de uma expressão algébrica?
Responder: Porque existem aplicações nas quais a expressão fatorada torna os cálculos mais fáceis. Por exemplo, suponha que você queira fazer 2xdois + 2xy - 3zx - 3zy igual a 0. Quais seriam as possibilidades?
Para responder a essa pergunta, a versão fatorada é muito mais útil do que o desenvolvimento original em termos. É afirmado assim:
(x + y) (2x - 3z) = 0
Uma possibilidade de que a expressão seja 0 é que x = -y, independentemente do valor de z. E a outra é que x = (3/2) z, independentemente do valor de y.
Considere um fator comum da seguinte expressão agrupando os termos:
ax + ay + bx + por
Os dois primeiros são agrupados, com o fator comum "a" e os dois últimos com o fator comum "b":
ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)
Feito isso, um novo fator comum é revelado, que é (x + y), de modo que:
ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)
Esta expressão oferece suporte a outra forma de agrupamento. Vamos ver o que acontece se os termos forem reorganizados e um grupo for formado com aqueles que contêm x e outro com aqueles que contêm y:
ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)
Desta forma, o novo fator comum é (a + b):
ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)
O que leva ao mesmo resultado do primeiro agrupamento que foi testado.
A seguinte expressão algébrica deve ser escrita como o produto de dois fatores:
3ª3 - 3ªdoisb + 9abdois-paradois+ab-3bdois
Esta expressão contém 6 termos. Vamos tentar agrupar primeiro e quarto, segundo e terceiro e, finalmente, quinto e sexto:
3ª3 - 3ªdoisb + 9abdois-paradois+ab-3bdois = (3a3 -paradois) + (- 3adoisb + 9abdois) + (ab-3bdois)
Agora, cada parêntese é fatorado:
= (3a3 -paradois) + (- 3adoisb + 9abdois) + (ab -3bdois) = adois (3a - 1) + 3ab (3b -a) + b (a-3b)
À primeira vista parece que a situação está complicada, mas o leitor não deve desanimar, pois vamos reescrever o último termo:
paradois (3a - 1) + 3ab (3b -a) + b (a-3b) = adois (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)
Os dois últimos termos agora têm um fator comum, que é (3b-a), portanto, podem ser fatorados. É muito importante não perder de vista o primeiro mandatodois (3a - 1), que deve continuar a acompanhar tudo como adição, mesmo que você não esteja trabalhando com isso:
paradois (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = adois (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)
A expressão foi reduzida a dois termos e um novo fator comum é descoberto no último, que é "b". Agora resta:
paradois (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = adois (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)
O próximo fator comum a aparecer é 3a - 1:
paradois (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1) [adois + b (3b-a)]
Ou se preferir sem colchetes:
(3a - 1) [adois + b (3b-a)] = (3a - 1) (adois -ab + 3bdois)
O leitor pode encontrar outra forma de agrupamento que leve a esse mesmo resultado??
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