UMA função injetiva é qualquer relação de elementos do domínio com um único elemento do codomínio. Também conhecido como função um a um ( onze ), fazem parte da classificação de funções no que diz respeito à forma como seus elementos estão relacionados.
Um elemento do codomínio só pode ser a imagem de um único elemento do domínio, desta forma os valores da variável dependente não podem ser repetidos.
Um exemplo claro seria agrupar homens com empregos no grupo A e no grupo B todos os chefes. A função F Será aquele que associa cada trabalhador ao seu chefe. Se cada trabalhador estiver associado a um chefe diferente por meio de F, então F será uma função injetiva.
Considerar injetivo para uma função, o seguinte deve ser cumprido:
∀ x1 ≠ xdois ⇒ F (x1 ) ≠ F (xdois )
Esta é a maneira algébrica de dizer Para todos os x1 diferente de xdois você tem um F (x1 ) diferente de F (xdois ).
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A injetividade é uma propriedade das funções contínuas, pois garantem a atribuição de imagens para cada elemento do domínio, aspecto essencial na continuidade de uma função..
Ao desenhar uma linha paralela ao eixo X no gráfico de uma função injetiva, você só deve tocar o gráfico em um único ponto, independentemente da altura ou magnitude de Y a linha está desenhada. Esta é a maneira gráfica de testar a injetividade de uma função.
Outra maneira de testar se uma função é injetivo, está resolvendo para a variável independente X em termos da variável dependente Y. Em seguida, deve-se verificar se o domínio desta nova expressão contém os números reais, ao mesmo tempo que para cada valor de Y existe um único valor de X.
As funções ou relações de ordem obedecem, entre outras formas, à notação F: DF→CF
O que é lido F correndo de DF até CF
Onde a função F relacionar os conjuntos Domínio Y Codomain. Também conhecido como conjunto inicial e conjunto final.
O domínio DF contém os valores permitidos para a variável independente. O codomínio CF É composto por todos os valores disponíveis para a variável dependente. Os elementos de CF relacionado a DF são conhecidos como Faixa de função (RF ).
Às vezes, uma função que não é injetiva pode estar sujeita a certas condições. Essas novas condições podem torná-lo um função injetiva. Todos os tipos de modificações no domínio e codomínio da função são válidos, onde o objetivo é cumprir as propriedades de injetividade na relação correspondente.
Deixe a função F: R → R definido pela linha F (x) = 2x - 3
R: [Todos os números reais]
Observa-se que para cada valor do domínio existe uma imagem no codomínio. Esta imagem é única, o que torna F uma função injetiva. Isso se aplica a todas as funções lineares (funções cujo maior grau da variável é um).
Deixe a função F: R → R definido por F (x) = xdois +1
Ao traçar uma linha horizontal, observa-se que o gráfico é encontrado em mais de uma ocasião. Por causa disso, a função F não é injetivo, desde que seja definido R → R
Prosseguimos para condicionar o domínio da função:
F: R+ OU 0 → R
Agora a variável independente não assume valores negativos, evitando-se assim a repetição dos resultados e a função F: R+ OU 0 → R definido por F (x) = xdois + 1 é injetivo.
Outra solução homóloga seria limitar o domínio à esquerda, ou seja, restringir a função para assumir apenas valores negativos e zero.
Prosseguimos para condicionar o domínio da função
F: R- OU 0 → R
Agora a variável independente não assume valores negativos, evitando-se assim a repetição dos resultados e a função F: R- OU 0 → R definido por F (x) = xdois + 1 é injetivo.
As funções trigonométricas têm comportamentos semelhantes aos das ondas, onde é muito comum encontrar repetições de valores na variável dependente. Por meio de condicionamento específico, com base no conhecimento prévio dessas funções, podemos estreitar o domínio para atender às condições de injetividade..
Deixe a função F: [ -π / 2, π / 2 ] → R definido por F (x) = Cos (x)
No intervalo [ -π / 2 → π / 2 ] a função cosseno varia seus resultados entre zero e um.
Como pode ser visto no gráfico. Comece do zero em x = -π / 2 atingindo então um máximo em zero. É depois x = 0 que os valores comecem a se repetir, até que voltem a zero em x = π / 2. Desta forma, sabe-se que F (x) = Cos (x) não é injetivo para o intervalo [ -π / 2, π / 2 ] .
Ao estudar o gráfico da função F (x) = Cos (x) intervalos são observados onde o comportamento da curva se adapta aos critérios de injetividade. Como por exemplo o intervalo
[0 , π ]
Onde a função varia os resultados de 1 a -1, sem repetir nenhum valor na variável dependente.
Desta forma, a função função F: [0 , π ] → R definido por F (x) = Cos (x). É injetivo
Existem funções não lineares onde ocorrem casos semelhantes. Para expressões do tipo racional, onde o denominador contém pelo menos uma variável, existem restrições que impedem a injetividade da relação.
Deixe a função F: R → R definido por F (x) = 10 / x
A função é definida para todos os números reais, exceto 0 quem tem uma indeterminação (não pode ser dividido por zero).
Ao se aproximar de zero a partir da esquerda, a variável dependente assume valores negativos muito grandes e, imediatamente após zero, os valores da variável dependente assumem grandes números positivos.
Essa interrupção faz com que a expressão F: R → R definido por F (x) = 10 / x
Não seja injetivo.
Como visto nos exemplos anteriores, a exclusão de valores no domínio serve para "reparar" essas indeterminações. Prosseguimos para excluir zero do domínio, deixando os conjuntos de partida e chegada definidos da seguinte forma:
R - 0 → R
Onde R - 0 simboliza os reais exceto para um conjunto cujo único elemento é zero.
Desta forma, a expressão F: R - 0 → R definido por F (x) = 10 / x é injetivo.
Deixe a função F: [0 , π ] → R definido por F (x) = Sen (x)
No intervalo [0 , π ] a função seno varia seus resultados entre zero e um.
Como pode ser visto no gráfico. Comece do zero em x = 0 então atingindo um máximo em x = π / 2. É depois x = π / 2 que os valores começam a se repetir, até voltar a zero x = π. Desta forma, sabe-se que F (x) = Sen (x) não é injetivo para o intervalo [0 , π ] .
Ao estudar o gráfico da função F (x) = Sen (x) intervalos são observados onde o comportamento da curva se adapta aos critérios de injetividade. Como por exemplo o intervalo [ π / 2,3π / 2 ]
Onde a função varia os resultados de 1 a -1, sem repetir nenhum valor na variável dependente.
Desta forma, a função F: [ π / 2,3π / 2 ] → R definido por F (x) = Sen (x). É injetivo
Verifique se a função F: [0, ∞) → R definido por F (x) = 3xdois é injetivo.
Desta vez, o domínio da expressão já é limitado. Observa-se também que os valores da variável dependente não se repetem neste intervalo..
Portanto, pode-se concluir que F: [0, ∞) → R definido por F (x) = 3xdois é injetivo
Identifique qual das seguintes funções é
Verifique se as seguintes funções são injetivas:
F: [0, ∞) → R definido por F (x) = (x + 3)dois
F: [ π / 2,3π / 2 ] → R definido por F (x) = Tan (x)
F: [ -π,π ] → R definido por F (x) = Cos (x + 1)
F: R → R definido pela linha F (x) = 7x + 2
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