O função logarítmica é uma relação matemática que associa cada número real positivo x com seu logaritmo Y em uma base para. Essa relação atende aos requisitos para ser uma função: cada elemento x pertencente ao domínio possui uma imagem única.
Portanto:
f (x) = y = logpara x , com a> 0 e diferente de 1.
As principais propriedades da função logarítmica são:
-Seu domínio é todo real maior que 0, não incluindo 0. Em outras palavras, não há logaritmo de 0 ou números negativos em nenhuma base. Na forma de intervalo:
sol F = (0, ∞ +)
-O logaritmo de um número pode ser negativo, positivo ou 0, então seu intervalo ou intervalo é:
Rgo F = (-∞, ∞ +)
-A função logarítmica está sempre aumentando para a> 1 e diminuindo para uma<1.
-O inverso de f (x) = logpara x é a função exponencial.
Na verdade, a função logarítmica baseada em, é a função inversa da função potencial:
F-1(x) = aY
Já que o logaritmo na base para de um número x, É o numero Y para o qual a base deve ser elevada para para obter x.
-O logaritmo da base é sempre 1. Assim, o gráfico de f (x) = logpara x sempre cruza o eixo x no ponto (1,0)
-A função logarítmica é transcendente e não pode ser expresso como um polinômio ou como um quociente destes. Além do logaritmo, este grupo inclui as funções trigonométricas e exponenciais, entre outras.
Índice do artigo
A função logarítmica pode ser estabelecida por várias bases, mas as mais utilizadas são 10 e e, Onde e é o número de Euler igual a 2,71828 ... .
Quando a base 10 é usada, o logaritmo é chamado de logaritmo decimal, logaritmo vulgar, Briggs ou simplesmente logaritmo simples.
E se o número e for usado, ele será chamado de logaritmo natural, por John Napier, o matemático escocês que descobriu os logaritmos..
A notação usada para cada um é a seguinte:
-Logaritmo decimal: log10 x = log x
-Logaritmo natural: ln x
Quando se pretende utilizar outra base, é absolutamente necessário indicá-la como subscrito, pois o logaritmo de cada número é diferente dependendo da base a utilizar. Por exemplo, se forem logaritmos na base 2, escreva:
y = logdois x
Vejamos o logaritmo do número 10 em três bases diferentes, para ilustrar este ponto:
log 10 = 1
ln 10 = 2,30259
registrodois 10 = 3,32193
Calculadoras comuns trazem apenas logaritmos decimais (função log) e logaritmo natural (função ln). Na Internet existem calculadoras com outras bases. Em qualquer caso, o leitor pode verificar, com a sua ajuda, que os valores acima são verdadeiros:
101 = 10
e2,3026 = 10.0001
dois3,32193 = 10,0000
Pequenas diferenças decimais são devidas ao número de casas decimais tomadas no cálculo do logaritmo.
Entre as vantagens de usar logaritmos está a facilidade que eles fornecem para trabalhar com grandes números, usando seu logaritmo em vez do número diretamente.
Isso é possível porque a função logaritmo cresce mais lentamente conforme os números aumentam, como podemos ver no gráfico.
Portanto, mesmo com números muito grandes, seus logaritmos são muito menores e manipular pequenos números é sempre mais fácil..
Além disso, os logaritmos têm as seguintes propriedades:
-produtos: log (a.b) = log a + log b
-Quociente: log (a / b) = log a - log b
-Poder: log ab = b.log a
E, dessa forma, os produtos e quocientes tornam-se adições e subtrações de números menores, enquanto a potenciação torna-se um produto simples, embora a potência seja alta..
É por isso que os logaritmos nos permitem expressar números que variam em faixas muito grandes de valores, como a intensidade do som, o pH de uma solução, o brilho das estrelas, a resistência elétrica e a intensidade dos terremotos na escala Richter..
Vejamos um exemplo do tratamento das propriedades dos logaritmos:
Encontre o valor de x na seguinte expressão:
log (5x +1) = 1 + log (2x-1)
Temos aqui uma equação logarítmica, já que a incógnita está no argumento do logaritmo. Ele é resolvido deixando um único logaritmo em cada lado da igualdade.
Começamos colocando todos os termos que contêm "x" à esquerda da igualdade e aqueles que contêm apenas números à direita:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
À esquerda temos a subtração de dois logaritmos, que podem ser escritos como o logaritmo de um quociente:
log [(5x + 1) / (2x-1)] = 1
Porém, à direita está o número 1, que podemos expressar como log 10, como vimos anteriormente. Então:
log [(5x + 1) / (2x-1)] = log 10
Para que a igualdade seja cumprida, argumentos dos logaritmos devem ser iguais:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 15/11
Em 1957, um terremoto ocorreu no México, cuja magnitude foi de 7,7 na escala Richter. Em 1960 outro terremoto de maior magnitude ocorreu no Chile, de 9,5.
Calcule quantas vezes o terremoto no Chile foi mais intenso que o do México, sabendo que a magnitude MR na escala Richter é dada pela fórmula:
MR = log (104 EU)
A magnitude de um terremoto na escala Richter é uma função logarítmica. Vamos calcular a intensidade de cada terremoto, já que temos as magnitudes Richter. Vamos fazer isso passo a passo:
-México: 7,7 = log (104 EU)
Como o inverso da função logaritmo é o exponencial, aplicamos isso a ambos os lados da igualdade com a intenção de resolver para I, que se encontra no argumento do logaritmo.
Como são logaritmos decimais, a base é 10. Então:
10 7,7 = 104 eu
A intensidade do terremoto no México foi:
euM = 10 7,7 / 104 = 103,7
-Pimenta: 9,5 = log (104 EU)
O mesmo procedimento nos leva à intensidade do terremoto chileno ICH:
euCH = 10 9,5 / 104 = 105,5
Agora podemos comparar as duas intensidades:
euCH / EUM = 105,5 / 103,7 = 101,8 = 63,1
euCH = 63,1. euM
O terremoto no Chile foi cerca de 63 vezes mais intenso do que no México. Como a magnitude é logarítmica, ela cresce mais lentamente do que a intensidade, então uma diferença de 1 na magnitude significa uma amplitude 10 vezes maior da onda sísmica.
A diferença entre as magnitudes de ambos os terremotos é de 1,8, portanto poderíamos esperar uma diferença de intensidades mais próxima de 100 do que de 10, como realmente aconteceu..
Na verdade, se a diferença fosse exatamente 2, o terremoto chileno teria sido 100 vezes mais intenso que o mexicano..
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