As funções trigonométricas inversas, Como o nome indica, eles são as funções inversas correspondentes das funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante..
As funções trigonométricas inversas são denotadas pelo mesmo nome de sua função trigonométrica direta correspondente mais o prefixo arco. Desta forma:
1.- arcsen (x) é a função trigonométrica inversa da função sen (x)
dois.- arccos (x) é a função trigonométrica inversa da função cos (x)
3.- arctan (x) é a função trigonométrica inversa da função então (x)
4.- arccot (x) é a função trigonométrica inversa da função berço (x)
5.- arcsec (x) é a função trigonométrica inversa da função seg (x)
6.- arccsc (x) é a função trigonométrica inversa da função csc (x)
A função θ = arcsen (x) resulta em um arco unitário θ (ou ângulo em radianos θ) tal que sin (θ) = x.
Assim, por exemplo, arcsen (√3 / 2) = π / 3 uma vez que, como é conhecido, o seno de π / 3 radianos é igual a √3 / 2.
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Para uma função matemática f (x) ter um inverso g (x) = f-1(x) é necessário que esta função seja injetivo, o que significa que cada valor y do conjunto de chegada da função f (x) vem de um e somente um valor x.
É claro que este requisito não é cumprido por nenhuma função trigonométrica. Para esclarecer o ponto, observe que o valor y = 0,5 pode ser obtido a partir da função seno das seguintes maneiras:
E muitos mais, uma vez que a função seno é periódica com período 2π.
Para definir as funções trigonométricas inversas, é necessário restringir o domínio de suas funções trigonométricas diretas correspondentes, de modo que atendam ao requisito de injetividade..
Esse domínio restrito da função direta será o intervalo ou ramo principal de sua função inversa correspondente.
Para obter as derivadas das funções trigonométricas inversas, as propriedades das derivadas são aplicadas, em particular a derivada de uma função inversa.
Se denotarmos por f (y) a função e por f-1(x) à sua função inversa, então a derivada da função inversa está relacionada à derivada da função direta pela seguinte relação:
[F-1(x)] '= 1 / f' [f-1(x)]
Por exemplo: se x = f (y) = √y é a função direta, seu inverso será
y = f-1(x) = xdois. Vamos aplicar a regra da derivada do inverso a este caso simples para ver se essa regra é realmente cumprida:
[xdois] '= 1 / [√y]' = 1 / (½ a-½ = 2 e½ = 2 (xdois)½ = 2x
Bem, podemos usar este truque para encontrar as derivadas das funções trigonométricas inversas.
Por exemplo, nós pegamos θ = arcsen (x) como função direta, então sua função inversa será sin (θ) = x.
[arcsen (x)] '= 1 / [sin (θ)]' = 1 / cos (θ) = 1 / √ (1 - sin (θ)dois) = ...
… = 1 / √ (1 - xdois) .
Desta forma, todas as derivadas das funções trigonométricas inversas podem ser obtidas, as quais são mostradas a seguir:
Essas derivadas são válidas para qualquer argumento z pertencente aos números complexos e, portanto, também são válidas para qualquer argumento real x, uma vez que z = x + 0i.
Encontre arctan (1).
O arctan (1) é o arco unitário (ângulo em radianos) ፀ tal que tan (ፀ) = 1. Esse ângulo é ፀ = π / 4 porque tan (π / 4) = 1. Então arctan (1) = π / 4.
Calcular arco-sen (cos (π / 3)).
O ângulo π / 3 radianos é um ângulo notável cujo cosseno é ½, então o problema se resume a encontrar arcsen (½).
Então, é uma questão de descobrir qual é o ângulo cujo seno dá ½. Esse ângulo é π / 6, pois sin (π / 6) = sin (30º) = ½. Portanto, arcsen (cos (π / 3)) = π / 6.
Encontre o resultado da seguinte expressão:
sec (arctan (3)) + csc (arccot (4))
Começamos por nomear α = arctan (3) e β = arccot (4). Então, a expressão que temos que calcular se parece com esta:
sec (α) + csc (β)
A expressão α = arctan (3) é equivalente a dizer tan (α) = 3.
Como a tangente é a perna oposta à adjacente, construímos um triângulo retângulo com a perna oposta α de 3 unidades e uma perna adjacente de 1 unidade, de modo que tan (α) = 3/1 = 3.
Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é determinada pelo teorema de Pitágoras. Com esses valores, o resultado é √10, de modo que:
sec (α) = hipotenusa / perna adjacente = √10 / 1 = √10.
Da mesma forma, β = arccot (4) é equivalente a afirmar que cot (β) = 4.
Construímos um triângulo da perna direita adjacente a β de 4 unidades e uma perna oposta de 1 unidade, de modo que cot (β) = 4/1.
O triângulo é imediatamente concluído ao encontrar sua hipotenusa, graças ao teorema de Pitágoras. Neste caso, descobriu-se que tinha √17 unidades. Em seguida, o csc (β) = hipotenusa / perna oposta = √17 / 1 = √17 é calculado.
Lembrando que a expressão que devemos calcular é:
sec (arctan (3)) + csc (arccot (4)) = sec (α) + csc (β) =…
… = √10 + √17 = 3,16 + 4,12 = 7,28.
Encontre as soluções de:
Cos (2x) = 1 - Sen (x)
É necessário que todas as funções trigonométricas sejam expressas no mesmo argumento ou ângulo. Usaremos a identidade do duplo ângulo:
Cos (2x) = 1 - 2 Sendois(x)
Então, a expressão original é reduzida a:
1 - 2 Sendois(x) = 1 - Sen x
Depois de simplificado e fatorado, é expresso como:
sin (x) (2 sin (x) - 1) = 0
O que dá origem a duas equações possíveis: Sen (x) = 0 com solução x = 0 e outra equação sin (x) = ½ com x = π / 6 como solução.
As soluções para a equação são: x = 0 ou x = π / 6.
Encontre as soluções da seguinte equação trigonométrica:
cos (x) = sindois(x)
Para resolver esta equação, é conveniente colocar apenas um tipo de função trigonométrica, portanto, usaremos a identidade trigonométrica fundamental para que a equação original seja reescrita da seguinte forma:
cos (x) = 1 - cosdois(x)
Se nomearmos y = cos (x), a expressão pode ser reescrita como:
Ydois + e - 1 = 0
É uma equação de segundo grau em y, cujas soluções são:
y = (-1 ± √5) / 2
Então, os valores de x que satisfazem a equação original são:
x = arccos ((-1 ± √5) / 2)
A solução real é aquela com sinal positivo x = 0,9046 rad = 51,83º.
A outra solução é complexa: x = (π - 1,06 i) rad.
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