O grau de um polinômio sobre uma variável é dada pelo termo que tem o maior expoente, e se o polinômio tem duas ou mais variáveis, então o grau é determinado pela soma dos expoentes de cada termo, a maior soma sendo o grau do polinômio.
Vamos ver como determinar o grau do polinômio de maneira prática.
Suponha que o polinômio P (x) = -5x + 8x3 + 7 - 4xdois. Este polinômio é uma variável, neste caso é a variável x. Este polinômio consiste em vários termos, que são os seguintes:
-5x; 8x3; 7; - 4xdois
Vamos selecionar entre os quatro termos aquele cujo expoente é maior, este termo é:
8x3
E agora qual é o expoente? A resposta é 3. Portanto, P (x) é um polinômio de grau 3.
Se o polinômio em questão tiver mais de uma variável, o grau pode ser:
-Absoluto
-Em relação a uma variável
O grau absoluto é encontrado conforme explicado no início: adicionando os expoentes de cada termo e selecionando o maior.
Por outro lado, o grau do polinômio em relação a uma das variáveis ou letras é o maior valor do expoente que essa letra possui. O ponto ficará mais claro com os exemplos e exercícios resolvidos nas seções seguintes.
Índice do artigo
Os polinômios podem ser classificados por grau e podem ser de primeiro grau, segundo grau, terceiro grau e assim por diante. Para o exemplo da Figura 1, a energia é um monômio de primeiro grau para a massa.
Também é importante notar que o número de termos que um polinômio possui é igual a nota mais 1. A) Sim:
-Polinômios de primeiro grau têm 2 termos: a1x + aou
-O polinômio de segundo grau tem 3 termos: adoisxdois + para1x + aou
-Um polinômio de terceiro grau tem 4 termos: a3x3 + paradoisxdois + para1x + aou
E assim por diante. O leitor cuidadoso terá notado que os polinômios nos exemplos anteriores são escritos na forma decrescente, isto é, colocar o termo primeiro com o Mais alto grau.
A tabela a seguir mostra vários polinômios, tanto de uma como de várias variáveis e seus respectivos graus absolutos:
| Polinomial | Avaliar |
|---|---|
| 3x4+5x3-2x + 3 | 4 |
| 7x3-2xdois+3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | 1 |
| x5-bx4+abx3+ab3xdois | 6 |
| 3x3Y5 + 5xdoisY4 - 7xydois + 6 | 8 |
Os dois últimos polinômios têm mais de uma variável. Destes, o termo com maior grau absoluto foi destacado em negrito, para que o leitor possa verificar rapidamente o grau. É importante lembrar que quando a variável não possui um expoente escrito, entende-se que o referido expoente é igual a 1.
Por exemplo, no termo em destaque ab3xdois existem três variáveis, a saber: para, b Y x. Naquele termo, para é elevado a 1, ou seja:
a = a1
Portanto ab3xdois = a1b3xdois
Como o expoente de b é 3 e o de x é 2, segue-se imediatamente que o grau deste termo é:
1 + 3 + 2 = 6
Y é o grau absoluto do polinômio, uma vez que nenhum outro termo tem um grau mais alto.
Ao trabalhar com polinômios é importante atentar para o grau dos mesmos, pois primeiro e antes de realizar qualquer operação, é conveniente seguir estes passos, nos quais o grau fornece informações muito importantes:
-Ordene o polinômio de preferência na direção decrescente. Dessa forma, o termo com o grau mais alto fica à esquerda e o termo com o grau mais baixo fica à direita..
-Reduz termos semelhantes, procedimento que consiste em adicionar algebricamente todos os termos da mesma variável e grau encontrados na expressão.
-Se necessário, os polinômios são completados, inserindo termos cujo coeficiente seja 0, caso faltem termos com algum expoente.
Dado o polinômio P (x) = 6xdois - 5x4- 2x + 3x + 7 + 2x5 - 3x3 + x7 -12 é solicitado que seja ordenado em ordem decrescente, reduza os termos semelhantes, se houver, e preencha os termos ausentes, se necessário.
A primeira coisa a procurar é o termo com o maior expoente, que é o grau do polinômio, que acaba sendo:
x7
Portanto, P (x) é de grau 7. Em seguida, o polinômio é ordenado, começando com este termo à esquerda:
P (x) = x7 + 2x5 - 5x4 - 3x3 + 6xdois - 2x + 3x + 7 -12
Agora os termos semelhantes são reduzidos, que são os seguintes: - 2x e 3x por um lado. E 7 e -12 do outro. Para reduzi-los, os coeficientes são adicionados algebricamente e a variável é deixada inalterada (se a variável não aparecer ao lado do coeficiente, lembre-se de que x0 = 1):
-2x + 3x = x
7 -12 = -5
Substitua esses resultados em P (x):
P (x) = x7 +2x5 - 5x4 - 3x3 + 6xdois + x -5
E, finalmente, o polinômio é examinado para ver se algum expoente está faltando e, de fato, um termo cujo expoente é 6 está faltando, portanto, ele é concluído com zeros como este:
P (x) = x7 + 0x6 +2x5 - 5x4 - 3x3 + 6xdois + x - 5
Agora observa-se que o polinômio ficou com 8 termos, pois como dito antes, o número de termos é igual a grau + 1.
Com polinômios, você pode realizar operações de adição e subtração, nas quais apenas termos semelhantes são adicionados ou subtraídos, que são aqueles com a mesma variável e o mesmo grau. Se não houver termos semelhantes, a adição ou subtração é simplesmente indicada.
Uma vez realizada a adição ou subtração, sendo esta última a soma do oposto, o grau do polinômio resultante é sempre igual ou menor que o grau do polinômio adicionando o maior grau.
Encontre a seguinte soma e determine seu grau absoluto:
para3- 8axdois + x3 + 5 ªdoisx - 6axdois - x3 + 3ª3 - 5 ªdoisx - x3 + para3+ 14axdois - x3
É um polinômio com duas variáveis, por isso é conveniente reduzir os termos semelhantes:
para3- 8axdois + x3 + 5 ªdoisx - 6axdois - x3 + 3ª3 - 5 ªdoisx - x3 + para3+ 14axdois - x3 =
= a3 + 3ª3 + para3 - 8axdois - 6axdois+ 14axdois +5 ªdoisx - 5ºdoisx + x3- x3- x3- x3 =
= 5a3 - 2x3
Ambos os termos são de grau 3 em cada variável. Portanto, o grau absoluto do polinômio é 3.
Expresse a área da seguinte figura geométrica plana como um polinômio (figura 2 à esquerda). Qual é o grau do polinômio resultante?
Sendo uma área, o polinômio resultante deve ser de grau 2 na variável x. Para determinar uma expressão adequada para a área, a figura é decomposta em áreas conhecidas:
A área de um retângulo e um triângulo são respectivamente: base x altura Y base x altura / 2
PARA1 = x. 3x = 3xdois; PARAdois = 5. x = 5x; PARA3 = 5. (2x / 2) = 5x
Observação: a base do triângulo é 3x - x = 2x e sua altura é 5.
Agora as três expressões obtidas são somadas, com isso temos a área da figura em função de x:
3xdois + 5x + 5x = 3xdois + 10x
Ainda sem comentários