O homotecia É uma mudança geométrica no plano onde, partindo de um ponto fixo denominado centro (O), as distâncias são multiplicadas por um fator comum. Desta forma, cada ponto P corresponde a outro ponto P 'produto da transformação, e estes são alinhados com o ponto O.
Já a homotecia é a correspondência entre duas figuras geométricas, onde os pontos transformados são chamados de homotéticos, e estes são alinhados a um ponto fixo e com segmentos paralelos entre si..
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Homotecy é uma transformação que não possui uma imagem congruente, pois a partir de uma figura serão obtidas uma ou mais figuras de tamanho maior ou menor que a figura original; ou seja, a homotecidade transforma um polígono em outro semelhante.
Para que a homotecia seja cumprida, ponto a ponto e linha a linha devem corresponder, de modo que os pares de pontos homólogos estejam alinhados com um terceiro ponto fixo, que é o centro da homotetia.
Da mesma forma, os pares de linhas que os unem devem ser paralelos. A relação entre esses segmentos é uma constante chamada razão de homotecidade (k); de tal forma que a homotecidade pode ser definida como:
Para realizar este tipo de transformação, começamos por escolher um ponto arbitrário, que será o centro da homotecia..
A partir deste ponto, segmentos de linha são desenhados para cada vértice da figura a ser transformada. A escala em que é feita a reprodução da nova figura é dada pela razão de homotecia (k).
Uma das principais propriedades da homotecia é que, pela razão homotética (k), todas as figuras homotéticas são semelhantes. Outras propriedades notáveis incluem o seguinte:
- O centro da homotecia (O) é o único ponto duplo e torna-se ele mesmo; ou seja, não varia.
- As linhas que passam pelo centro transformam-se em si mesmas (são duplas), mas os pontos que as compõem não são duplos.
- As linhas que não passam pelo centro tornam-se linhas paralelas; desta forma, os ângulos de homotecia permanecem os mesmos.
- A imagem de um segmento por uma homotecia de centro O e razão k, é um segmento paralelo a este e tem k vezes seu comprimento. Por exemplo, como pode ser visto na imagem a seguir, um segmento AB por homotecidade resultará em outro segmento A'B ', de forma que AB será paralelo a A'B' e k será:
- Os ângulos homotéticos são congruentes; ou seja, eles têm a mesma medida. Portanto, a imagem de um ângulo é um ângulo que tem a mesma amplitude.
Por outro lado, a homotecia varia em função do valor de sua razão (k), podendo ocorrer os seguintes casos:
- Se a constante k = 1, todos os pontos são fixos porque se transformam. Assim, a figura homotética coincide com a original e a transformação será chamada de função de identidade..
- Se k ≠ 1, o único ponto fixo será o centro da homotética (O).
- Se k = -1, a homotecia torna-se uma simetria central (C); ou seja, uma rotação ocorrerá em torno de C, em um ângulo de 180ou.
- Se k> 1, o tamanho da figura transformada será maior que o tamanho do original.
- Sim 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.
- Sim -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.
- Se k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.
A homotecia também pode ser classificada em dois tipos, dependendo do valor de sua razão (k):
Ocorre se a constante k> 0; ou seja, os pontos homotéticos estão do mesmo lado em relação ao centro:
O fator de proporcionalidade ou razão de similaridade entre os valores homotéticos diretos será sempre positivo.
Isso ocorre se a constante k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:
O fator de proporcionalidade ou razão de similaridade entre os valores homotéticos inversos será sempre negativo.
Quando vários movimentos são realizados sucessivamente até obter uma figura igual à original, ocorre uma composição de movimentos. A composição de vários movimentos também é um movimento.
A composição entre duas homotécies resulta em uma nova homotecia; ou seja, há um produto de homotetias em que o centro estará alinhado com o centro das duas transformações originais, e a razão (k) é o produto das duas razões.
Assim, na composição de duas homotécies H1(OU1, k1) e Hdois(OUdois, kdois), a multiplicação de suas razões: k1 x kdois = 1 resultará em uma homotecia da razão k3 = K1 x kdois. O centro desta nova homotecia (O3) estará localizado na linha O1 OUdois.
Homotecia corresponde a uma mudança plana e irreversível; se duas homotetias forem aplicadas com o mesmo centro e razão, mas com um sinal diferente, a figura original será obtida.
Aplique uma homotecia ao polígono dado com centro (O), localizado a 5 cm do ponto A e cuja razão é k = 0,7.
Qualquer ponto é escolhido como o centro da homotecia, e a partir deste ponto os raios são desenhados através dos vértices da figura:
Temos que a distância do centro (O) ao ponto A é OA = 5; Com isso, pode-se determinar a distância de um dos pontos homotéticos (OA '), sabendo também que k = 0,7:
OA '= k x OA.
OA '= 0,7 x 5 = 3,5.
O processo pode ser feito para cada vértice, ou o polígono homotético também pode ser desenhado lembrando que os dois polígonos têm lados paralelos:
Finalmente, a transformação é semelhante a esta:
Aplique uma homotecia ao polígono dado com centro (O), localizado a 8,5 cm do ponto C e cuja razão y k = -2.
A distância do centro (O) ao ponto C é OC = 8,5; Com esses dados é possível determinar a distância de um dos pontos homotéticos (OC '), sabendo também que k = -2:
OC '= k x OC.
OC '= -2 x 8,5 = -17
Após traçar os segmentos dos vértices do polígono transformado, os pontos iniciais e suas homotéticas estão localizados nas extremidades opostas em relação ao centro:
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