Eles são Identidades pitagóricas todas as equações trigonométricas válidas para qualquer valor do ângulo e são baseadas no teorema de Pitágoras. A mais famosa das identidades pitagóricas é a identidade trigonométrica fundamental:
Sendois(α) + Cosdois(α) = 1
O próximo em importância e uso a identidade pitagórica da tangente e da secante:
Entãodois(α) + 1 = Segdois(α)
E a identidade trigonométrica pitagórica envolvendo a cotangente e a cossecante:
1 + Ctgdois(α) = Cscdois(α)
Índice do artigo
As relações trigonométricas seios Y cosseno eles são representados em um círculo de raio um (1) conhecido como círculo trigonométrico. O referido círculo tem centro na origem das coordenadas O.
Os ângulos são medidos a partir do semieixo positivo do X, por exemplo, o ângulo α na figura 2 (veja abaixo). No sentido anti-horário se o ângulo for positivo e no sentido horário se for um ângulo negativo.
É desenhado o raio de origem O e ângulo α, que intercepta o círculo unitário no ponto P. O ponto P é projetado ortogonalmente no eixo horizontal X dando origem ao ponto C. Da mesma forma P é projetado perpendicularmente no eixo vertical Y dando lugar ao ponto S.
Temos o triângulo retângulo OCP em C.
Deve ser lembrado que a razão trigonométrica seios é definido em um triângulo retângulo como segue:
O seno de um ângulo do triângulo é a razão ou quociente entre a perna oposta ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.
Aplicado ao triângulo OCP da figura 2, ficaria assim:
Sen (α) = CP / OP
mas CP = OS e OP = 1, de modo que:
Sen (α) = OS
Isso significa que o OS de projeção no eixo Y tem um valor igual ao seno do ângulo exibido. Deve-se notar que o valor máximo do seno de um ângulo (+1) ocorre quando α = 90º e o mínimo (-1) quando α = -90º ou α = 270º.
Da mesma forma, o cosseno de um ângulo é o quociente entre a perna adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo..
Aplicado ao triângulo OCP da figura 2, ficaria assim:
Cos (α) = OC / OP
mas OP = 1, de modo que:
Cos (α) = OC
Isso significa que a projeção OC no eixo X tem um valor igual ao seno do ângulo mostrado. Deve-se notar que o valor máximo do cosseno (+1) ocorre quando α = 0º ou α = 360º, enquanto o valor mínimo do cosseno é (-1) quando α = 180º.
Para o triângulo retângulo OCP em C, é aplicado o teorema de Pitágoras, que afirma que a soma do quadrado das pernas é igual ao quadrado da hipotenusa:
PCdois + OCdois = OPdois
Mas já foi dito que CP = OS = Sen (α), que OC = Cos (α) e que OP = 1, então a expressão anterior pode ser reescrita em função do seno e cosseno do ângulo:
Sendois(α) + Cosdois(α) = 1
Assim como o eixo X no círculo trigonométrico é o eixo do cosseno e o eixo Y é o eixo do seno, da mesma forma existe o eixo tangente (ver figura 3) que é precisamente a linha tangente ao círculo unitário no ponto B de coordenadas (1, 0).
Se você quiser saber o valor da tangente de um ângulo, você desenha o ângulo do semieixo positivo do X, a interseção do ângulo com o eixo da tangente define um ponto Q, o comprimento do segmento OQ é a tangente do ângulo.
Isso ocorre porque, por definição, a tangente do ângulo α é a perna oposta QB entre a perna adjacente OB. Ou seja, Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.
A identidade pitagórica da tangente pode ser provada considerando o triângulo retângulo OBQ em B (Figura 3). Aplicando o teorema de Pitágoras a este triângulo, temos que BQdois + OBdois = OQdois. Mas já foi dito que BQ = Tan (α), que OB = 1 e que OQ = Sec (α), de modo que substituindo na igualdade pitagórica pelo triângulo retângulo OBQ temos:
Entãodois(α) + 1 = Segdois(α).
Verifique se as identidades pitagóricas são preenchidas ou não no triângulo retângulo com as pernas AB = 4 e BC = 3.
Solução: As pernas são conhecidas, a hipotenusa precisa ser determinada, que é:
AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.
O ângulo ∡BAC será denominado α, ∡BAC = α. Agora, as razões trigonométricas são determinadas:
Sen α = BC / AC = 3/5
Cos α = AB / AC = 4/5
Portanto, α = BC / AB = 3/4
Cotan α = AB / BC = 4/3
Sec α = AC / AB = 5/4
Csc α = AC / BC = 5/3
Começa com a identidade trigonométrica fundamental:
Sendois(α) + Cosdois(α) = 1
(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1
Conclui-se que está cumprido.
- A próxima identidade pitagórica é a da tangente:
Entãodois(α) + 1 = Segdois(α)
(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2
E conclui-se que a identidade da tangente é verificada.
- De forma semelhante à do cotangente:
1 + Ctgdois(α) = Cscdois(α)
1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2
Conclui-se que também está cumprido, com o qual a tarefa de verificar as identidades pitagóricas para o triângulo dado foi concluída.
Prove as seguintes identidades, com base nas definições das razões trigonométricas e nas identidades pitagóricas.
Prove que Cosdois x = (1 + Sen x) (1 - Sen x).
Solução: No lado direito, reconhece-se o notável produto da multiplicação de um binômio pelo seu conjugado, que, como se sabe, é uma diferença de quadrados:
Cosdois x = 1dois - Sendois x
Em seguida, o termo com seno no lado direito passa para o lado esquerdo com o sinal alterado:
Cosdois x + Sendois x = 1
Observando que a identidade trigonométrica fundamental foi atingida, conclui-se que a expressão dada é uma identidade, ou seja, é verdadeira para qualquer valor de x.
Partindo da identidade trigonométrica fundamental e usando as definições das razões trigonométricas, demonstre a identidade pitagórica da cossecante.
Solução: a identidade fundamental é:
Sendois(x) + Cosdois(x) = 1
Ambos os membros estão divididos entre Sendois(x) e o denominador é distribuído no primeiro membro:
Sendois(x) / Sendois(x) + Cosdois(x) / Sendois(x) = 1 / Sendois(x)
É simplificado:
1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2
Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) é uma identidade (não pitagórica) que é verificada pela definição das razões trigonométricas. O mesmo acontece com a seguinte identidade: 1 / Sen (x) = Csc (x).
Finalmente você tem que:
1 + Ctgdois(x) = Cscdois(x)
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