O integral indefinida é a operação inversa da derivação e para denotá-la usa-se o símbolo do "s" alongado: ∫. Matematicamente, a integral indefinida da função F (x) é escrita:
∫F (x) dx = f (x) + C
Onde o integrando F (x) = f '(x) é uma função da variável x, que por sua vez é a derivada de outra função f (x), chamada de integral ou antiderivada.
Por sua vez, C é uma constante conhecida como constante de integração, que sempre acompanha o resultado de cada integral indefinida. Veremos sua origem imediatamente por meio de um exemplo.
Suponha que sejamos solicitados a encontrar a seguinte integral indefinida I:
I = ∫x.dx
Imediatamente f '(x) é identificado com x. Isso significa que devemos fornecer uma função f (x) tal que sua derivada seja x, o que não é difícil:
f (x) = ½ xdois
Sabemos que ao diferenciar f (x) obtemos f '(x), verificamos:
[½ xdois] '= 2. (½ x) = x
Agora a função: f (x) = ½ xdois + 2 também satisfaz o requisito, uma vez que a derivação é linear e a derivada de uma constante é 0. Outras funções que quando derivadas fornecem f (x) = são:
½ xdois -1, ½ xdois + quinze; ½ xdois - √2 ...
E em geral todas as funções do formulário:
f (x) = ½ xdois + C
Eles são as respostas corretas para o problema.
Qualquer uma dessas funções é chamada antiderivada ou primitivo de f '(x) = x e é precisamente a este conjunto de todas as antiderivadas de uma função o que é conhecido como integral indefinida.
Basta conhecer apenas uma das primitivas, pois, como pode ser visto, a única diferença entre elas é a constante C de integração.
Se o problema contém condições iniciais, é possível calcular o valor de C para ajustá-las (veja o exemplo resolvido abaixo).
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No exemplo anterior, ∫x.dx foi calculado porque uma função f (x) era conhecida que, quando derivada, resultou no integrando.
Por esta razão, a partir das funções mais conhecidas e suas derivadas, integrais básicos podem ser resolvidos rapidamente.
Além disso, existem algumas propriedades importantes que expandem a gama de possibilidades ao resolver uma integral. Ser k um número real, então é verdade que:
1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C
2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
4.- ∫xn dx = [xn + 1/ n + 1] + C (n ≠ -1)
5.- ∫x -1 dx = ln x + C
Dependendo do integrando, existem vários métodos algébricos e também numéricos para resolver integrais. Aqui mencionamos:
-Mudança de variável
-Substituições algébricas e trigonométricas.
-Integração por partes
-Decomposição em frações simples para integrando de tipo racional
-Usando tabelas
-Métodos numéricos.
Existem integrais que podem ser resolvidos por mais de um método. Infelizmente, não há um único critério para determinar a priori o método mais eficaz para resolver uma dada integral.
Na verdade, alguns métodos permitem que você alcance a solução de certas integrais mais rapidamente do que outros. Mas a verdade é que para adquirir integrais de resolução de habilidades, você deve praticar com cada método.
Separar:
Vamos fazer uma mudança de variável simples para a quantidade sub-radical:
u = x-3
Com:
x = u + 3
Derivar ambos os lados em qualquer uma das duas expressões dá:
dx = du
Agora substituímos na integral, que denotaremos como I:
I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u + 3) (√u) du = ∫ (u + 3) u1/2 du
Aplicamos propriedade distributiva e multiplicação de potências de base igual e obtemos:
I = ∫ (u3/2 + 3 u1/2) du
Pela propriedade 3 da seção anterior:
I = ∫ u3/2 du + ∫ 3u1/2 du
Agora a propriedade 4 é aplicada, que é conhecida como regra de poderes:
∫ você3/2 du = [u 3/2 + 1 / (3/2 + 1)] + C1 =
= [u5/2 / (5/2)] + C1 = (2/5) u5/2 + C1
∫ 3u1/2 du = 3 ∫u1/2 du = 3 [u3/2 / (3/2)] + Cdois =
= 3 (2/3) u3/2 + Cdois = 2u3/2 + Cdois
Em seguida, os resultados são reunidos em I:
I = (2/5) u5/2 + 2u3/2 + C
As duas constantes podem ser combinadas em uma sem problemas. Por fim, não se esqueça de retornar a mudança de variável que foi feita antes e expressar o resultado em termos da variável original x:
I = (2/5) (x-3)5/2 + 2 (x-3)3/2 + C
É possível fatorar o resultado:
I = 2 (x-3) 3/2 [(1/5) (x-3) +1] + C = (2/5) (x-3) 3/2 (x + 2) + C
A integral indefinida se aplica a vários modelos nas ciências naturais e sociais, por exemplo:
Na solução de problemas de movimento, calcular a velocidade de um móvel, conhecendo sua aceleração e no cálculo da posição de um móvel, conhecendo sua velocidade.
Ao calcular os custos de produção de itens e modelar uma função de demanda, por exemplo.
A velocidade mínima necessária para um objeto escapar da atração gravitacional da Terra é dada por:
Nesta expressão:
-v é a velocidade do objeto que deseja escapar da Terra
-y é a distância medida do centro do planeta
-M é a massa de terra
-G é constante de gravitação
É solicitado encontrar a relação entre v Y Y, resolver as integrais indefinidas, se o objeto receber uma velocidade inicial vou e o raio da Terra é conhecido e é chamado de R.
Somos apresentados a duas integrais indefinidas para resolver usando as regras de integração:
eu1 = ∫v dv = vdois/ 2 + C1
eudois = -GM ∫ (1 / ydois) dy = -GM ∫ y-dois dy = -GM [y-2 + 1/ (- 2 + 1)] + Cdois = GM. Y-1 + Cdois
Nós igualamos eu1 e eudois:
vdois/ 2 + C1 = GM. Y-1 + Cdois
As duas constantes podem ser combinadas em uma:
Uma vez resolvidas as integrais, aplicamos as condições iniciais, que são as seguintes: quando o objeto está na superfície da Terra, ele está a uma distância R de seu centro. Na declaração, eles nos dizem que y é a distância medida do centro da Terra.
E apenas por estar na superfície é que lhe é dada a velocidade inicial vo com a qual escapará da atração gravitacional do planeta. Portanto, podemos estabelecer que v (R) = vou. Nesse caso, nada nos impede de substituir essa condição no resultado que acabamos de obter:
E desde vou é conhecido, e assim são G, M e R, podemos resolver para o valor da constante de integração C:
Que podemos substituir no resultado das integrais:
E finalmente nós limpamos vdois, fatoração e agrupamento de forma adequada:
Esta é a expressão que relaciona a velocidade v de um satélite que foi disparado da superfície do planeta (de raio R) com velocidade inicial vo, quando está à distância Y do centro do planeta.
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