É compreendido por Multiplicativo inverso de um número, outro número que multiplicado pelo primeiro dá como resultado o elemento neutro do produto, ou seja, a unidade. Se você tem um número real para então seu inverso multiplicativo é denotado por para-1, e é verdade que:
a a-1 = a-1 a = 1
Normalmente o número para pertence ao conjunto de números reais.
Se por exemplo tomarmos a = 2, então seu inverso multiplicativo é dois-1 = ½ uma vez que o seguinte é verificado:
2 ⋅ 2-1 = 2-1⋅ 2 = 1
2⋅ ½ = ½ ⋅ 2 = 1
Para o Multiplicativo inverso de um número também é chamado de recíproca, porque o inverso multiplicativo é obtido trocando numerador e denominador, por exemplo, o inverso multiplicativo de 3/4 é 4/3.
Como regra geral, pode-se dizer que para um número racional (p / q) seu inverso multiplicativo (p / q)-1 É recíproco (q / p) como pode ser verificado abaixo:
(p / q) ⋅ (p / q)-1 = (p / q) ⋅ (q / p) = (p⋅ q) / (q⋅ p) = (p⋅ q) / (p⋅ q) = 1
O inverso multiplicativo não existe no conjunto numérico de inteiros, Por exemplo, se o inteiro 2 for tomado, seu inverso multiplicativo de acordo com o que foi visto acima seria ½, mas ½ não é um inteiro..
Também não há inverso multiplicativo do elemento nulo de multiplicação. Em outras palavras, o número zero (0), que é o elemento nulo da operação de multiplicação, não possui um inverso multiplicativo, pois não há número que seja multiplicado pela unidade zero.
O inverso multiplicativo existe em números racionais, em números reais e em números complexos.
Encontre o inverso multiplicativo de 3/2 e verifique se ele cumpre a propriedade dos inteiros multiplicativos.
De acordo com a regra dada acima, o numerador e o denominador são trocados desta forma, o inverso multiplicativo de (3/2) é (2/3). Para verificar a multiplicação dos dois números é realizada:
(3/2) ⋅ (2/3) = (3 ⋅ 2) / (2 ⋅ 3) = 6/6 = 1.
Para multiplicar dois números fracionários, basta multiplicar o numerador do primeiro pelo numerador do segundo para obter o numerador do resultado..
Para obter o denominador de um produto de números fracionários, proceda de forma semelhante, ou seja, multiplique os denominadores entre si e o resultado será o denominador do produto. Em nosso exemplo verifica-se que o numerador do produto do número e seu recíproco é 6 e o denominador é 6, ficando a fração 6/6 que é 1.
O inverso multiplicativo de -5 não deve ser confundido com seu simétrico (+5), que às vezes é chamado de inverso aritmético. O inverso multiplicativo será obtido da seguinte forma:
(-5) ⋅ X = 1
Onde X é o inverso multiplicativo a ser obtido. Um procedimento possível é resolver para o X desconhecido. Como (-5) multiplica o X desconhecido no membro esquerdo, então isso acontece dividindo o membro direito:
X = 1 / (-5)
Uma vez que se sabe que + entre - é -, então finalmente X é obtido:
X = - ⅕ .
Em conclusão - ⅕ é o inverso multiplicativo de -5.
Obtenha o inverso multiplicativo de -√2. Suponha que o inverso multiplicativo seja X, então -√2 multiplicado por X deve ser unitário, uma condição que impomos a seguir:
-√2 ⋅ X = 1
Em seguida, ambos os membros são divididos por -√2 para obter:
(-√2 ⋅ X) / (-√2) = 1 / (-√2)
No primeiro membro -√2 é simplificado, deixando:
X = 1 / (-√2)
Essa expressão pode ser racionalizada, ou seja, eliminar a raiz do denominador, multiplicando no numerador por (-√2) e no denominador pelo mesmo valor para que o resultado não seja alterado:
X = (-√2) / [(-√2) (- √2)] = - (√2 / 2)
Em conclusão - (√2 / 2) é o inverso multiplicativo de (-√2).
Suponha qualquer número x, obtenha seu inverso multiplicativo e represente-o graficamente.
Neste caso é uma função f (x) = x, obter o inverso multiplicativo é encontrar a função g (x) tal que multiplicada pelo primeiro número da unidade. A função g é a recíproca de f e não deve ser confundida de forma alguma com sua função inversa.
Em outras palavras, o inverso multiplicativo de x é um y tal que o seguinte é verdadeiro:
x ⋅ y = 1
de onde limpar e você tem:
y = 1 / x.
O acima é interpretado, assim, dado um valor de x, a fórmula anterior nos dá seu inverso multiplicativo.
É possível fazer sua representação gráfica conforme mostrado na figura a seguir:
Dado x = 2 - √2, obtenha seu inverso multiplicativo y.
Solução:
Para que y seja um inverso multiplicativo de x, a seguinte igualdade deve ser satisfeita:
x ⋅ y = 1
Substitua x por seu valor:
(2 - √2) ⋅ y = 1
Em seguida, ele limpa e:
y = 1 / (2 - √2)
Para racionalizar o resultado, o numerador e o denominador são multiplicados por seu binômio conjugado:
y = (2 + √2) / ((2 + √2) (2 - √2))
No denominador, um produto notável é reconhecido, denominado produto de uma soma e uma diferença, que é a diferença dos quadrados. Desta forma, a raiz do denominador desaparece.
y = (2 + √2) / (2 ^ 2 - (√2) ^ 2)
Resolvendo os poderes:
y = (2 + √2) / (4 - 2)
Simplificando:
y = (2 + √2) / 2
Obtenha o inverso multiplicativo de (1 / a + 1 / b) onde aeb são números reais diferentes de zero.
Solução:
Chamamos Y de inverso multiplicativo de (1 / a + 1 / b), então a seguinte equação deve ser satisfeita:
E ⋅ (1 / a + 1 / b) = 1
A variável Y é apagada:
Y = 1 / (1 / a + 1 / b)
O denominador está resolvido:
Y = 1 / ((b + a) / a b)
Como é conhecido pelas regras da álgebra, o denominador do denominador passa para o numerador:
Y = (a b) / (b + a)
É ordenado para finalmente obter:
(a b) / (a + b) que é o inverso multiplicativo de (1 / a + 1 / b).
Obtenha o inverso multiplicativo de (a - b) / (a ^ 2 - b ^ 2).
Solução:
Lembre-se de que o inverso multiplicativo também é chamado de recíproco porque é obtido precisamente pela troca de numerador e denominador.
Então, o inverso multiplicativo de (a - b) / (a ^ 2 - b ^ 2) será:
(a ^ 2 - b ^ 2) / (a - b)
Mas essa expressão pode ser simplificada se reconhecermos, de acordo com as regras da álgebra, que o numerador é uma diferença de quadrados que pode ser fatorada como o produto de uma soma por uma diferença:
((a + b) (a - b)) / (a - b)
Como existe um fator comum (a - b) no numerador e no denominador, passamos a simplificar, obtendo finalmente:
(a + b) que é o inverso multiplicativo de (a - b) / (a ^ 2 - b ^ 2).
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