As Leis de Kepler sobre o movimento planetário foram formulados pelo astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630). Kepler os deduziu com base no trabalho de seu professor, o astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601).
Brahe compilou cuidadosamente dados sobre os movimentos planetários ao longo de mais de 20 anos, com surpreendente precisão e exatidão, considerando que o telescópio ainda não havia sido inventado na época. A validade dos seus dados ainda é válida hoje.
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As leis de Kepler estabelecem:
-Primeira lei: todos os planetas descrevem órbitas elípticas com o Sol em um dos focos.
-Segunda lei ou lei de áreas iguais: uma linha dirigida do Sol para qualquer planeta (raio focal), varre áreas iguais em tempos iguais.
-Terceira lei: o quadrado do tempo que leva para qualquer planeta orbitar o Sol é proporcional ao cubo de sua distância média do Sol.
Ser T disse a hora, chamou período orbital, Y r a distância média, então:
Tdois é proporcional a r3
T = k r3
Isso significa que o quociente Tdois/ r3 é igual para todos os planetas, o que permite calcular o raio orbital, se o período orbital for conhecido.
Quando T é expresso em anos e r em unidades astronômicas AU *, a constante de proporcionalidade é k = 1:
Tdois= r3
* Uma unidade astronômica equivale a 150 milhões de quilômetros, que é a distância média entre a Terra e o Sol. O período orbital da Terra é de 1 ano.
A lei universal da gravitação afirma que a magnitude da força gravitacional de atração entre dois objetos de massas M Y m respectivamente, cujos centros são separados por uma distância r, É dado por:
F = G mM / rdois
G é a constante universal de gravitação e seu valor é G = 6,674 x 10 -onze N.mdois/ kgdois .
Agora, as órbitas dos planetas são elípticas com uma excentricidade muito pequena.
Isso significa que a órbita não está muito longe de uma circunferência, exceto em alguns casos, como no planeta anão Plutão. Se aproximamos as órbitas da forma circular, a aceleração do movimento do planeta é:
parac = vdois/ r
Dado que F = ma, ter:
G mM / rdois = m.vdois/ r
Aqui v é a velocidade linear do planeta em torno do Sol, assumida estática e de massa M, enquanto o do planeta é m. Então:
Isso explica que os planetas mais distantes do Sol têm uma velocidade orbital menor, uma vez que depende de 1 / √r.
Como a distância que o planeta percorre é aproximadamente o comprimento da circunferência: L = 2πr e leva um tempo igual a T, o período orbital, obtemos:
v = 2πr / T
Equacionar ambas as expressões para v dá uma expressão válida para Tdois, o quadrado do período orbital:
E esta é precisamente a terceira lei de Kepler, visto que nesta expressão o parêntese 4πdois / GM é constante, portanto Tdois é proporcional à distância r ao cubo.
A equação definitiva para o período orbital é obtida tomando a raiz quadrada:
Quanto vale a massa do Sol? É possível descobrir por esta equação. Sabemos que o período orbital da Terra é de um ano e o raio orbital é de 1 UA, equivalente a 150 milhões de quilômetros, então temos todos os dados necessários.
Em nossa equação anterior, resolvemos para M, não sem primeiro converter todos os valores para o Sistema Internacional de Unidades SI:
1 ano = 3,16 x 107 segundos.
1 AU = 150 milhões de km = 1,5 x10onze m.
Embora Kepler tivesse apenas os planetas em mente quando derivou suas famosas leis, elas também são válidas para o movimento de satélites e outros corpos no sistema solar, como veremos a seguir..
Sabendo que a órbita de Júpiter é 5,19 vezes a da Terra, encontre o período orbital de Júpiter.
De acordo com a definição de Unidade Astronômica, Júpiter está distante do Sol 5,19 UA, portanto, de acordo com a terceira lei de Kepler:
Tdois= r3= (5,19)3 anos
Portanto T = (5,19)3/2 anos = 11,8 anos
O cometa Halley visita o Sol a cada 75,3 anos. Achar:
a) O semi-eixo maior de sua órbita.
b) A medida do afélio, se o periélio medir 0,568 UA.
O cometa Halley visita o Sol a cada 75,3 anos. Achar:
a) O semi-eixo maior de sua órbita.
b) A medida do afélio, se o periélio medir 0,568 UA.
Quando um planeta ou qualquer outra estrela está em seu ponto mais próximo do Sol, diz-se que está no periélio, e quando está mais longe, em afélio. No caso especial de uma órbita circular, r na terceira lei de Kepler é o raio da órbita.
No entanto, na órbita elíptica, o corpo celeste está mais ou menos longe do Sol, o semi-eixo maior "a" sendo a média entre o afélio e o periélio:
Portanto, substituímos r por a na terceira lei de Kepler, o que resulta para Halley em:
Tdois= a3→ a = (T)2/3 → a = (75,3) 2/3 UA = 17.832 UA
a = ½ (periélio + afélio)
17,832 = ½ (0,568+ Afélio) → Afélio = 2 x 17,832 - 0,568 UA = 35,10 UA.
Analisar o movimento dos planetas requer semanas, meses e até anos de observação e registro cuidadosos. Mas no laboratório, um experimento em escala muito simples pode ser realizado para provar que a lei de Kepler das áreas iguais é válida..
Para isso, é necessário um sistema físico em que a força que rege o movimento seja central, condição suficiente para que a lei das áreas seja cumprida. Tal sistema consiste em uma massa amarrada a uma corda comprida, com a outra ponta do fio fixada em um suporte..
A massa é deslocada em um pequeno ângulo de sua posição de equilíbrio e um leve impulso é dado a ela, de forma que execute um movimento oval (quase elíptico) no plano horizontal, como se fosse um planeta ao redor do Sol..
Na curva descrita pelo pêndulo, podemos provar que ele varre áreas iguais em tempos iguais, se:
-Consideramos os raios vetoriais que vão do centro de atração (ponto inicial de equilíbrio) até a posição da massa..
-E fazemos a varredura entre dois instantes consecutivos de igual duração, em duas áreas diferentes do movimento.
Quanto mais longa a corda do pêndulo e menor o ângulo de afastamento da vertical, a força de restauração resultante será mais horizontal e a simulação se assemelha ao caso de movimento com força central em um plano.
Então, o oval descrito se aproxima de uma elipse, como aquela que os planetas viajam.
-Fio inextensível
-1 massa ou bola metálica pintada de branco que atua como um pêndulo
-governante
-Transportador
-Câmera fotográfica com disco estroboscópico automático
-Colchetes
-Duas fontes de luz
-Uma folha de papel preto ou papelão
A montagem da figura é necessária para tirar fotos de vários flashes do pêndulo enquanto ele segue seu caminho. Para fazer isso, você deve colocar a câmera logo acima do pêndulo e o disco estroboscópico automático na frente da lente.
Desta forma, as imagens são obtidas em intervalos regulares de tempo do pêndulo, por exemplo a cada 0,1 ou a cada 0,2 segundos, o que permite saber o tempo que leva para se deslocar de um ponto a outro..
Você também deve iluminar a massa do pêndulo corretamente, colocando as luzes em ambos os lados. A lentilha deve ser pintada de branco para melhorar o contraste no fundo, que consiste em um papel preto espalhado no chão.
Agora você deve verificar se o pêndulo varre áreas iguais em tempos iguais. Para isso, é escolhido um intervalo de tempo e os pontos ocupados pelo pêndulo nesse intervalo são marcados no papel..
Na imagem uma linha é desenhada do centro da oval até esses pontos e assim teremos a primeira das áreas varridas pelo pêndulo, que é aproximadamente um setor elíptico como o mostrado abaixo:
Os ângulos são medidos com o transferidor θou Y θ1, e esta fórmula é usada para encontrar S, a área do setor elíptico:
S = F (θ1) - F (θou)
Com F (θ) dado por:
Observe que para Y b são os eixos semi-maiores e menores, respectivamente. O leitor só precisa se preocupar em medir cuidadosamente os semieixos e os ângulos, já que existem calculadoras online para avaliar essa expressão com facilidade..
No entanto, se você insiste em fazer o cálculo à mão, lembre-se de que o ângulo θ é medido em graus, mas ao inserir os dados na calculadora, os valores devem ser expressos em radianos.
Depois deve-se marcar outro par de pontos em que o pêndulo tenha invertido o mesmo intervalo de tempo, e desenhar a área correspondente, calculando seu valor com o mesmo procedimento.
Por fim, resta verificar se a lei das áreas é cumprida, ou seja, que áreas iguais são varridas em tempos iguais..
Os resultados estão se desviando um pouco do que era esperado? Deve-se sempre ter em mente que todas as medições são acompanhadas de seus respectivos erros experimentais.
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