O álgebra booleana o Álgebra booleana é a notação algébrica usada para o tratamento de variáveis binárias. Abrange os estudos de qualquer variável que tenha apenas 2 desfechos possíveis, complementares e mutuamente exclusivos. Por exemplo, variáveis cuja única possibilidade é verdadeira ou falsa, correta ou incorreta, ativada ou desativada são a base do estudo da álgebra booleana..
A álgebra booleana constitui a base da eletrônica digital, o que a torna bastante presente hoje. É regido pelo conceito de portas lógicas, onde as operações conhecidas na álgebra tradicional são notavelmente afetadas.
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A álgebra booleana foi introduzida em 1854 pelo matemático inglês George Boole (1815 - 1864), que na época era um estudioso autodidata. Sua preocupação surgiu de uma disputa existente entre Augustus De Morgan e William Hamilton, sobre os parâmetros que definem este sistema lógico.
George Boole argumentou que a definição dos valores numéricos 0 e 1 corresponde, no campo da lógica, à interpretação Nada e universo respectivamente.
A intenção de George Boole era definir, por meio das propriedades da álgebra, as expressões da lógica proposicional necessárias para lidar com variáveis de tipo binário..
Em 1854, as seções mais significativas da álgebra booleana foram publicadas no livro “Uma investigação das leis do pensamento nas quais as teorias matemáticas da lógica e da probabilidade se baseiam ".
Este curioso título seria resumido mais tarde como “As leis do pensamento ”. O título ganhou fama devido à atenção imediata que recebeu da comunidade matemática da época..
Em 1948, Claude Shannon aplicou-o ao projeto de circuitos elétricos de comutação biestáveis. Isso serviu como uma introdução à aplicação da álgebra booleana em todo o esquema eletrônico-digital..
Os valores elementares neste tipo de álgebra são 0 e 1, que correspondem a FALSE e TRUE respectivamente. As operações fundamentais na álgebra booleana são 3:
- Operação AND ou conjunção. Representado por um ponto (.). Sinônimo de produto.
- OU operação ou disjunção. Representado por uma cruz (+). Sinônimo da soma.
- NÃO operação ou negação. Representado pelo prefixo NÃO (NÃO A). Também conhecido como complemento.
Se em um conjunto A 2 leis de composição interna são definidas, denotadas como produto e soma (. +), O triplo (A. +) é considerado uma álgebra booleana se e somente se o referido triplo atende à condição de ser uma rede distributiva.
Para definir uma rede distributiva, as condições de distribuição devem ser atendidas entre as operações dadas:
. é distributiva em relação à soma + para . (b + c) = (a. b) + (a. c)
+ é distributivo em relação ao produto. a + (b. c) = (a + b). (a + c)
Os elementos que compõem o conjunto A devem ser binários, tendo, portanto, valores de universo ou vazio.
Seu principal cenário de aplicação é o ramal digital, onde serve para estruturar os circuitos que compõem as operações lógicas envolvidas. A arte da simplicidade do circuito para otimizar processos é o resultado da correta aplicação e prática da álgebra booleana..
Desde a elaboração de painéis elétricos, passando pela transmissão de dados, até a programação em diferentes linguagens, podemos frequentemente encontrar a álgebra booleana em todos os tipos de aplicações digitais..
Variáveis booleanas são muito comuns na estrutura de programação. Dependendo da linguagem de programação usada, haverá operações estruturais no código que usam essas variáveis. As condicionais e os argumentos de cada linguagem admitem variáveis booleanas para definir os processos.
Existem teoremas que governam as leis lógicas estruturais da álgebra booleana. Da mesma forma, existem postulados para conhecer os resultados possíveis em diferentes combinações de variáveis binárias, dependendo da operação realizada..
O operador OU cujo elemento lógico é a união (U) é definido para variáveis binárias da seguinte forma:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
O operador E cujo elemento lógico é a interseção (∩) é definido para variáveis binárias da seguinte forma:
0 0 = 0
0 1 = 0
1 0 = 0
1 1 = 1
O operador NÃO cujo elemento lógico é o complemento (X) 'é definido para variáveis binárias da seguinte forma:
NÃO 0 = 1
NÃO 1 = 0
Muitos dos postulados diferem de suas contrapartes na álgebra convencional. Isso se deve ao domínio das variáveis. Por exemplo, adicionar elementos de universo na álgebra booleana (1 + 1) não pode produzir o resultado convencional de 2, porque ele não pertence aos elementos do conjunto binário.
Qualquer operação simples que envolva um elemento com as variáveis binárias é definida:
0 + A = A
1 + A = 1
0 A = 0
1 A = A
Operações entre variáveis iguais são definidas como:
A + A = A
PARA . A = A
Qualquer operação entre uma variável e seu complemento é definida como:
A + NÃO A = 1
PARA . NÃO A = 0
Qualquer dupla negação será considerada como a variável natural.
NÃO (NÃO A) = A
A + B = B + A; Comutatividade da soma.
PARA . B = B. PARA ; Comutatividade do produto.
A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Associatividade da soma.
PARA . (B. C) = (A. B). C = A. B. C; Associatividade do produto.
A + (B. C) = (A + B). (A + C); Distributividade da soma em relação ao produto.
PARA . (B + C) = (A.B) + (A + C); Distributividade do produto em relação à soma.
Existem muitas leis de absorção entre várias referências, algumas das mais conhecidas são:
PARA . (A + B) = A
PARA . (NÃO A + B) = A. B
NÃO A (A + B) = NÃO A. B
(A + B). (A + NÃO B) = A
A + A. B = A
A + NÃO A. B = A + B
NÃO A + A. B = NÃO A + B
PARA . B + A. NÃO B = A
São leis de transformação, que tratam de pares de variáveis que interagem entre as operações definidas da álgebra booleana (+.).
NÃO (A. B) = NÃO A + NÃO B
NÃO (A + B) = NÃO A. NÃO SER
A + B = NÃO (NÃO A + NÃO B)
PARA . B = NÃO (NÃO A. NÃO B)
Todos os postulados e teoremas possuem a faculdade da dualidade. Isso implica que, trocando as variáveis e operações, a proposição resultante é verificada. Ou seja, ao trocar 0 por 1 e AND por OR ou vice-versa; uma expressão é criada que também será completamente válida.
Por exemplo, se você tomar o postulado
1 0 = 0
E a dualidade é aplicada
0 + 1 = 1
Outro postulado perfeitamente válido é obtido.
O mapa de Karnaugh é um diagrama usado na álgebra booleana para simplificar funções lógicas. Consiste em um arranjo bidimensional semelhante às tabelas de verdade da lógica proposicional. Os dados das tabelas de verdade podem ser capturados diretamente no mapa de Karnaugh.
O mapa de Karnaugh pode acomodar processos de até 6 variáveis. Para funções com maior número de variáveis, recomenda-se o uso de software para simplificar o processo.
Proposto em 1953 por Maurice Karnaugh, estabeleceu-se como uma ferramenta fixa no campo da álgebra booleana, pois sua implementação sincroniza o potencial humano com a necessidade de simplificar as expressões booleanas, aspecto fundamental na fluidez dos processos digitais..
A álgebra booleana é usada para reduzir as portas lógicas em um circuito, onde a prioridade é trazer a complexidade ou nível do circuito para sua expressão mais baixa possível. Isso se deve ao atraso computacional que cada porta supõe.
No exemplo a seguir, observaremos a simplificação de uma expressão lógica para sua expressão mínima, usando os teoremas e postulados da álgebra booleana..
NÃO (AB + A + B). NÃO (A + NÃO B)
NÃO [A (B + 1) + B]. NÃO (A + NÃO B); Fatorando A com um fator comum.
NÃO [A (1) + B]. NÃO (A + NÃO B); Pelo teorema A + 1 = 1.
NÃO (A + B). NÃO (A + NÃO B); pelo teorema A. 1 = A
(NÃO A. NÃO B). [ NOTA . NÃO (NÃO B)];
Pelo teorema de Morgan, NÃO (A + B) = NÃO A. NÃO SER
(NÃO A. NÃO B). (NÃO A. B); Pelo teorema de negação dupla NOT (NOT A) = A
NOTA . NÃO SER. NOTA . B; Agrupamento algébrico.
NOTA . NOTA . NÃO SER. B; Comutatividade do produto A. B = B. PARA
NOTA . NÃO SER. B; Pelo teorema A. A = A
NOTA . 0; Pelo teorema A. NÃO A = 0
0; Pelo teorema A. 0 = 0
PARA . B. C + NÃO A + A. NÃO SER. C
PARA . C. (B + NÃO B) + NÃO A; Fatoração (A. C) com fator comum.
PARA . C. (1) + NÃO A; Pelo teorema A + NÃO A = 1
PARA . C + NÃO A; Pela regra do teorema zero e da unidade 1. A = A
NÃO A + C ; Pela lei do Morgan A + NOT A. B = A + B
Para esta solução, a lei de Morgan deve ser estendida para definir:
NÃO (NÃO A). C + NÃO A = NÃO A + C
Porque NOT (NOT A) = A por involução.
NOTA . NÃO SER. NÃO C + NÃO A. NÃO SER. C + NÃO A. NÃO C em sua expressão mínima
NOTA . NÃO SER. (NÃO C + C) + NÃO A. NÃO C; Fatoração (NÃO A. NÃO B) com fator comum
NOTA . NÃO SER. (1) + NÃO A. NÃO C; Pelo teorema A + NÃO A = 1
(NÃO A. NÃO B) + (NÃO A. NÃO C); Pela regra do teorema zero e da unidade 1. A = A
NÃO A (NÃO B + NÃO C); Fatorando NÃO A com um fator comum
NOTA . NÃO (B. C); Pelas leis de Morgan, NÃO (A. B) = NÃO A + NÃO B
NÃO [A + (B. C)] Pelas leis de Morgan, NÃO (A. B) = NÃO A + NÃO B
Qualquer uma das 4 opções em negrito representa uma possível solução para reduzir o nível do circuito
(A. NÃO B. C + A. NÃO B. B. D + NÃO A. NÃO B). C
(A. NÃO B. C + A. 0. D + NÃO A. NÃO B). C; Pelo teorema A. NÃO A = 0
(A. NÃO B. C + 0 + NÃO A. NÃO B). C; Pelo teorema A. 0 = 0
(A. NÃO B. C + NÃO A. NÃO B). C; Pelo teorema A + 0 = A
PARA . NÃO SER. C. C + NÃO A. NÃO SER. C; Pela distributividade do produto em relação à soma
PARA . NÃO SER. C + NÃO A. NÃO SER. C; Pelo teorema A. A = A
NÃO SER. C (A + NÃO A) ; Fatoração (NÃO B. C) com fator comum
NÃO SER. C (1); Pelo teorema A + NÃO A = 1
NÃO SER. C; Pela regra do teorema zero e da unidade 1. A = A
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