O Limite de Fermat é um método numérico usado para obter o valor da inclinação de uma linha, que é tangente a uma função em um determinado ponto em seu domínio. Também é usado para obter pontos críticos de uma função. Sua expressão é definida como:
É óbvio que Fermat não conhecia os fundamentos da derivação, porém foram seus estudos que levaram um grupo de matemáticos a indagar sobre as retas tangentes e suas aplicações no cálculo..
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Consiste em uma aproximação de 2 pontos, que nas condições anteriores formavam uma linha secante para a função com intersecção em pares de valores.
Ao aproximar a variável do valor "a", o par de pontos é forçado a se encontrar. Desta forma, a linha previamente secante torna-se tangente ao ponto (a; f (a)).
O valor do quociente (x - a), quando avaliado no ponto “a”, produz uma indeterminação dos limites do tipo K entre zero (K / 0). Onde, por meio de diferentes técnicas de fatoração, essas indeterminações podem ser quebradas.
As técnicas operacionais mais comumente usadas são:
-Diferença de quadrados (adois - bdois ) = (a + b) (a - b); A existência do elemento (a-b) implica na maioria dos casos o fator que simplifica a expressão (x-a) no quociente do limite de Fermat.
- Conclusão dos quadrados (machadodois + bx); Após completar os quadrados, obtém-se um binômio de Newton, onde um de seus 2 fatores é simplificado com a expressão (x - a), quebrando a indeterminação.
- Conjugado (a + b) / (a + b); Multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado de algum fator pode ser de grande ajuda para quebrar a indeterminação.
- Fator comum; Em muitos casos, o resultado da operação do numerador do limite de Fermat f (x) - f (a) oculta o fator (x - a) necessário para fatorar. Para isso, observa-se cuidadosamente quais elementos se repetem em cada fator da expressão.
Embora o limite de Fermat não diferencie entre máximo e mínimo, visto que só consegue identificar os pontos críticos de acordo com sua definição, é comumente utilizado no cálculo de capas ou pisos das funções no plano..
Um conhecimento básico da teoria gráfica das funções em conjunto com este teorema pode ser suficiente para estabelecer os valores máximo e mínimo entre as funções. Na verdade, os pontos de inflexão podem ser definidos por meio do teorema do valor médio, além do teorema de Fermat.
O paradoxo mais significativo para Fermat veio do estudo da parábola cúbica. Como sua atenção foi direcionada para as linhas tangentes de uma função para um determinado ponto, ele se deparou com o problema de definir a referida linha tangente no ponto de inflexão da função.
Parecia impossível determinar a linha tangente a um ponto. Assim começa a indagação que daria origem ao cálculo diferencial. Definido posteriormente por importantes expoentes da matemática.
O estudo dos máximos e mínimos de uma função foi um desafio para a matemática clássica, onde um método prático e inequívoco foi necessário para defini-los..
Fermat criou um método baseado na operação de pequenos valores diferenciais, que após processos de factoring, são eliminados, dando lugar ao valor máximo e mínimo procurado..
Esta variável deverá ser avaliada na expressão original para determinar a coordenada desse ponto, que junto com os critérios analíticos será definida como o máximo ou mínimo da expressão.
Em seu método, Fermat usa o simbolismo literal de Vieta, que consistia no uso exclusivo de letras maiúsculas: vogais, para desconhecidos, e consoantes para quantidades conhecidas..
Para o caso dos valores radicais, Fermat implementou um processo particular, que posteriormente seria utilizado nas fatorações dos limites de indeterminação. infinito entre infinito.
Este processo consiste em dividir cada expressão pelo valor do diferencial utilizado. No caso de Fermat, ele utilizou a letra E, onde após a divisão pela maior potência de E, o valor buscado para o ponto crítico torna-se clarificável..
O limite de Fermat é de fato uma das contribuições menos conhecidas na longa lista do matemático. Seus estudos foram dos números primos, para basicamente criar as bases de cálculo.
Por sua vez, Fermat era conhecido por suas excentricidades em relação a suas hipóteses. Era comum ele deixar uma espécie de desafio para os outros matemáticos da época, quando já tinha a solução ou a prova.
Ele teve uma grande variedade de disputas e alianças com diferentes matemáticos da época, que amavam ou odiavam trabalhar com ele.
Seu último teorema foi o principal responsável por sua fama mundial, onde afirmou que uma generalização da Teorema de Pitágoras para qualquer grau "n", era impossível. Ele alegou ter uma prova válida disso, mas morreu antes de torná-la pública.
Essa demonstração teve que esperar cerca de 350 anos. Em 1995 os matemáticos Andrew Wiles e Richard Taylor, puseram fim à ansiedade deixada por Fermat, mostrando que ele estava certo através de uma prova válida de seu último teorema.
Defina a inclinação da linha tangente à curva f (x) = xdois no ponto (4, 16)
Substituindo na expressão do limite de Fermat temos:
Os fatores (x - 4) são simplificados
Ao avaliar você tem
M = 4 + 4 = 8
Defina o ponto crítico da expressão f (x) = xdois + 4x usando o limite de Fermat
É realizado um agrupamento estratégico de elementos, buscando agrupar os pares X-X0
Os mínimos quadrados são desenvolvidos
O fator comum X-X é observado0 e é extraído
A expressão agora pode ser simplificada e a indeterminação quebrada
Nos pontos mínimos sabe-se que a inclinação da reta tangente é igual a zero. Desta forma, podemos equalizar a expressão encontrada para zero e resolver para o valor X0
2 x0 + 4 = 0
X0 = -4/2 = -2
Para obter a coordenada que falta é apenas necessário avaliar o ponto na função original
F (-2) = (-2)dois + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4
O ponto crítico é P (-2, -4).
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