O medida aproximada de figuras amorfas consiste em uma série de métodos usados para determinar a área ou perímetro de figuras geométricas que não são triângulos, quadrados, círculos, etc. Alguns são extensíveis a figuras tridimensionais.
Basicamente, a medição consiste em fazer uma grade de alguma forma regular, como retângulos, quadrados ou trapézios, que cobrem aproximadamente a superfície. A precisão da aproximação da área obtida por esses métodos aumenta com a finura ou densidade da rede..
As Figuras 1 e 2 mostram várias figuras amorfas. Para calcular a área, foi feita uma grade, composta por 2 x 2 quadrados, que por sua vez são subdivididos em vinte e cinco quadrados 2/5 x 2/5.
Adicionando as áreas dos quadrados principais e secundários dá a área aproximada da figura amorfa.
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Freqüentemente, é necessário calcular aproximadamente a área sob uma curva entre dois valores limites. Neste caso, em vez de uma rede quadrada, podem ser desenhadas faixas retangulares que cobrem aproximadamente a área sob a referida curva..
A soma de todas as listras retangulares é chamada soma ou soma de Riemann. A Figura 3 mostra uma partição do intervalo [a, b] sobre o qual queremos aproximar a área sob a curva.
Suponha que você queira calcular a área sob a curva dada pela função y = f (x), onde x pertence ao intervalo [a, b] dentro do qual você deseja calcular a área. Para isso, é feita uma partição de n elementos neste intervalo:
Partição = x0 = a, x1, x2,…, xn = b.
Então, a área aproximada sob a curva dada por y = f (x) no intervalo [a, b] é obtida realizando a seguinte soma:
S = ∑k = 1n f (tk) (xk - xk-1)
Onde Tk está entre xk-1 e xk: xk-1 ≤ tk ≤ xk .
A Figura 3 mostra graficamente a soma de Riemann da curva y = f (x) no intervalo [x0, x4]. Neste caso, uma partição de quatro subintervalos foi feita e a soma representa a área total dos retângulos cinza.
Esta soma representa uma aproximação da área sob a curva f entre a abscissa x = x0 e x = x4.
A aproximação da área sob a curva melhora conforme o número n de partições é maior e tende a ser exatamente a área sob a curva quando o número n de partições tende ao infinito.
Caso a curva seja representada por uma função analítica, os valores f (tk) são calculados avaliando esta função nos valores tk. Mas se a curva não tiver uma expressão analítica, permanecem as seguintes possibilidades:
Dependendo da escolha do valor tk no intervalo [xk, xk-1], a soma pode superestimar ou subestimar o valor exato da área sob a curva da função y = f (x). O mais aconselhável é tomar o ponto tk onde a área faltante é aproximadamente igual à área excedente, embora nem sempre seja possível fazer tal escolha..
A coisa mais prática então é usar intervalos regulares de largura Δx = (b - a) / n, onde aeb são os valores mínimo e máximo da abcissa, enquanto n é o número de subdivisões.
Nesse caso, a área sob a curva é aproximada por:
Área = f (a + Δx) + f (a + 2Δx) +… + f [a + (n-1] Δx + f (b) * Δx
Na expressão acima, tk foi obtido na extremidade direita do subintervalo.
Outra possibilidade prática é tomar o valor tk na extrema esquerda, caso em que a soma que se aproxima da área é expressa como:
Área = [f (a) + f (a + Δx) +… + f (a + (n-1) Δx)] * Δx
Caso tk seja escolhido como o valor central do subintervalo regular de largura Δx, a soma que se aproxima da área sob a curva é:
Área = [f (a + Δx / 2) + f (a + 3Δx / 2) +… + f (b- Δx / 2)] * Δx
Qualquer uma dessas expressões tende ao valor exato na medida em que o número de subdivisões é arbitrariamente grande, ou seja, que Δx tende a zero, mas, neste caso, o número de termos na soma torna-se imensamente grande com o consequente custo computacional.
A Figura 2 mostra uma figura amorfa, cujo contorno é semelhante ao das pedras da imagem 1. Para calcular sua área, ela é colocada em uma grade com quadrados principais de 2 x 2 unidades quadradas (por exemplo, podem ter 2 cm²)..
E uma vez que cada quadrado é subdividido em 5 x 5 subdivisões, cada subdivisão tem uma área de 0,4 x 0,4 unidades quadradas (0,16 cm²).
A área da figura seria calculada assim:
Área = 6 x 2 cm² + (13 + 20 + 8 + 7 + 29 + 4 + 5 + 18 + 26 + 5) x 0,16 cm²
Quer dizer:
Área = 12 cm² + 135 x 0,16 cm² = 33,6 cm².
Calcule aproximadamente a área sob a curva dada pela função f (x) = xdois entre a = -2 a b = +2. Para fazer isso, primeiro escreva a soma de n partições regulares do intervalo [a, b] e, em seguida, tome o limite matemático para o caso em que o número de partições tende ao infinito.
Primeiro você define o intervalo das partições como
Δx = (b - a) / n.
Então, a soma certa correspondente à função f (x) fica assim:
[-2 + (4i / n)]dois = 4 - 16 i / n + (4 / n)dois eudois
E então é substituído na soma:
E os terceiros resultados:
S (f, n) = 16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6ndois
A escolha de um valor grande para n fornece uma boa aproximação da área sob a curva. No entanto, neste caso, é possível obter o valor exato tomando o limite matemático quando n tende para o infinito:
Area = limn-> ∞[16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6ndois]
Área = 16 - (64/2) + (64/3) = 16/3 = 5.333.
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