Dois ou mais ângulos são ângulos complementares se a soma de suas medidas corresponder à de um ângulo reto. Como se sabe, a medida de um ângulo reto em graus é 90º e em radianos é π / 2.
Por exemplo, os dois ângulos adjacentes à hipotenusa de um triângulo retângulo são complementares entre si, pois a soma de suas medidas é 90º. A figura a seguir é muito ilustrativa a esse respeito:
Um total de quatro ângulos são mostrados na figura 1. α e β são complementares, uma vez que são adjacente e sua soma completa um ângulo reto. Da mesma forma, β é complementar a γ, do qual se segue que γ e α são de igual medida.
Agora, como a soma de α e δ é igual a 90 graus, pode-se afirmar que α e δ são complementares. Além disso, como β e δ têm o mesmo α complementar, pode-se afirmar que β e δ têm a mesma medida..
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Nos exemplos a seguir, é solicitado encontrar os ângulos desconhecidos, marcados com pontos de interrogação na figura 2.
Os exemplos a seguir estão em ordem de complexidade.
Na figura acima temos que os ângulos adjacentes α e 40º somam um ângulo reto. Ou seja, α + 40º = 90º, portanto α = 90º- 40º = 50º.
Como β é complementar ao ângulo de 35º, então β = 90º - 35º = 55º.
Da figura 2C temos que a soma de γ + 15º + 15º = 90º. Em outras palavras, γ é complementar ao ângulo 30º = 15º + 15º. De maneira que:
γ = 90º- 30º = 60º
Nestes exemplos, há mais ângulos envolvidos. Para encontrar as incógnitas, o leitor deve aplicar o conceito de ângulo complementar quantas vezes forem necessárias.
Como X é complementar a 72º, segue-se que X = 90º - 72º = 18º. Além disso, Y é complementar com X, então Y = 90º - 18º = 72º.
Finalmente Z é complementar com Y. De tudo o que foi dito acima, segue-se que:
Z = 90º - 72º = 18º
Os ângulos δ e 2δ são complementares, portanto δ + 2δ = 90º.
Ou seja, 3δ = 90º, o que implica que δ = 90º / 3 = 30º.
Se chamarmos o ângulo entre ω e 10º U, então U é suplementar a ambos, pois se observa que sua soma completa um ângulo reto. Daí se segue que U = 80º. Uma vez que U é complementar com ω, então ω = 10º.
Três exercícios são propostos abaixo. Em todos eles deve ser encontrado o valor dos ângulos A e B em graus, para que as relações mostradas na figura 3 sejam cumpridas..
Determine os valores dos ângulos A e B da parte I) da Figura 3.
Pela figura apresentada pode-se observar que A e B são complementares, portanto A + B = 90º. Substituímos A e B pela expressão como uma função de x dada na parte I):
(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90
Em seguida, os termos são agrupados de forma adequada e uma equação linear simples é obtida:
(5x / 2) + 22 = 90
Subtraindo 22 em ambos os membros, temos:
5x / 2 = 90 -22 = 68
E, finalmente, o valor de x é limpo:
x = 2 * 68/5 = 136/5
Agora, o ângulo A é encontrado substituindo o valor de X:
A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20,6 º.
Enquanto o ângulo B é:
B = 2 * 136/5 + 15 = 347 / 5º = 69,4º .
Encontre os valores dos ângulos A e B da imagem II, figura 3.
Novamente, como A e B são ângulos complementares, temos: A + B = 90º. Substituindo a expressão de A e B em função de x dada na parte II) da figura 3, temos:
(2x - 10) + (4x +40) = 90
Termos semelhantes são agrupados para obter a equação:
6 x + 30 = 90
Dividindo os dois membros por 6, você obtém:
x + 5 = 15
Daí decorre que x = 10º.
Portanto:
A = 2 * 10 - 10 = 10º
B = 4 * 10 + 40 = 80º.
Determine os valores dos ângulos A e B da parte III) da Figura 3.
Novamente, a figura é analisada cuidadosamente para encontrar os ângulos complementares. Nesse caso, temos que A + B = 90 graus. Substituindo a expressão de A e B como uma função de x dado na figura, temos:
(-x +45) + (4x -15) = 90
3 x + 30 = 90
A divisão de ambos os membros por 3 resulta no seguinte:
x + 10 = 30
De onde segue que x = 20º.
Em outras palavras, o ângulo A = -20 +45 = 25º. E por sua vez: B = 4 * 20 -15 = 65º.
Dois ângulos seriam lados perpendiculares se cada lado tem sua perpendicular correspondente no outro. A figura a seguir esclarece o conceito:
Na figura 4 são observados os ângulos α e θ, por exemplo. Agora observe que cada ângulo tem sua perpendicular correspondente ao outro ângulo.
Também é visto que α e θ têm o mesmo ângulo complementar z, portanto, o observador conclui imediatamente que α e θ têm a mesma medida. Parece então que se dois ângulos têm lados perpendiculares entre si, eles são iguais, mas vamos olhar para outro caso.
Agora considere os ângulos α e ω. Esses dois ângulos também têm lados perpendiculares correspondentes, porém não podem ser considerados iguais, pois um é agudo e o outro obtuso..
Observe que ω + θ = 180º. Além disso, θ = α. Se você substituir esta expressão por z na primeira equação, obterá:
δ + α = 180º, onde δ e α são ângulos mutuamente perpendiculares dos lados.
Do exposto, pode-se estabelecer uma regra que é cumprida desde que os ângulos tenham lados perpendiculares:
Se dois ângulos tiverem lados perpendiculares entre si, eles serão iguais se ambos forem agudos ou obtusos. Caso contrário, se um for agudo e o outro obtuso, são complementares, ou seja, somam 180º.
Aplicando esta regra e referindo-se aos ângulos da figura 4, podemos afirmar o seguinte:
α = β = θ = φ
γ = δ
Com o ângulo suplementar ω de α, β, θ e φ.
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