O ângulos conjugados São eles que, quando somados, resultam em 360 °, sejam esses ângulos adjacentes ou não. Na figura 1 dois ângulos conjugados são mostrados, denotados como α e β.
Nesse caso, os ângulos α e β da figura possuem um vértice comum e seus lados são comuns, portanto são adjacentes. A relação entre eles é expressa da seguinte forma:
α + β = 360º
Por outro lado, consideremos agora duas linhas paralelas cortadas por uma secante, cujo arranjo é mostrado a seguir:
As linhas MN e PQ são paralelas, enquanto a linha RS é secante, cruzando os paralelos em dois pontos. Como pode ser visto, esta configuração determina a formação de 8 ângulos, que foram denotados com letras minúsculas.
Bem, de acordo com a definição dada no início, os ângulos a, b, c e d são conjugados. E da mesma forma e, f, g e h são, uma vez que ambos os casos são verdadeiros:
a + b + c + d = 360º
Y
e + f + g + h = 360º
Para esta configuração, dois ângulos são conjugados se estiverem do mesmo lado em relação à linha secante RS e ambos forem internos ou externos. No primeiro caso, falamos de ângulos conjugados internos, enquanto no segundo, eles são ângulos conjugados externos.
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Na figura 2, os ângulos externos são aqueles que estão fora da região delimitada pelas linhas MN e PQ, são os ângulos A, B, G e H. Enquanto os ângulos que ficam entre as duas linhas são C, D, E e F.
Agora é necessário analisar quais ângulos estão à esquerda e quais estão à direita da secante.
À esquerda de RS estão os ângulos A, C, E e G. E à direita estão os ângulos B, D, F e H.
Prosseguimos imediatamente para determinar os pares de ângulos conjugados, de acordo com a definição dada na seção anterior:
-A e G, externos e à esquerda de RS.
-D e F, interno e à direita do RS.
-B e H, externo e à direita do RS.
-C e E, interno e à esquerda do RS.
Propriedade de ângulos conjugados entre linhas paralelas
Os ângulos conjugados entre linhas paralelas são complementares, ou seja, sua soma é igual a 180º. Desta forma, para a figura 2, o seguinte é verdadeiro:
A + G = 180º
D + F = 180º
B + H = 180º
C + E = 180º
Os pares de ângulos correspondentes para linhas paralelas
São aqueles que estão do mesmo lado da linha secante, não são adjacentes e um deles é interno e o outro é externo. É importante visualizá-los, pois sua medida é a mesma, pois são ângulos opostos pelo vértice.
Voltando à Figura 2, os pares de ângulos correspondentes são identificados como:
-A e E
-C e G
-B e F
-D e H
Os quadriláteros são polígonos de 4 lados, entre eles o quadrado, o retângulo, o trapézio, o paralelogramo e o losango, por exemplo. Independentemente da forma, em qualquer uma delas é verdade que a soma de seus ângulos internos é 360º, portanto atendem à definição dada no início..
Vamos ver alguns exemplos de quadriláteros e como calcular o valor de seus ângulos internos de acordo com as informações nas seções anteriores:
a) Três dos ângulos de um quadrilátero medem 75º, 110º e 70º. Quanto deve medir o ângulo restante?
b) Encontre o valor do ângulo ∠Q na figura 3 i.
c) Calcule a medida do ângulo ∠A na figura 3 ii.
Seja α o ângulo que falta, está satisfeito que:
α + 75º + 110º + 70º = 360º → α = 105º
A Figura 3i mostrada é um trapézio e dois de seus ângulos internos são retos, marcados com um quadrado colorido nos cantos. Para este quadrilátero, é verificado o seguinte:
∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360º; ∠S = ∠R = 90 °; ∠P = 60º
Portanto:
∠ Q = 2 x 90º + 60º = 240º
O quadrilátero na figura 3 ii também é um trapézio, para o qual o seguinte é verdadeiro:
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º
Portanto:
4x -5 + 3x + 10 +180 = 360
7x + 5 = 180
x = (180 - 5) / 7
x = 25
Para determinar o ângulo solicitado na declaração, usamos que ∠A = 4x - 5. Substituindo o valor calculado anteriormente de x segue que ∠A = (4 × 25) -5 = 95º
Sabendo que um dos ângulos mostrados é 125º, encontre as medidas dos 7 ângulos restantes na figura a seguir e justifique as respostas.
O ângulo 6 e o ângulo 125º são conjugados internos, cuja soma é 180º, conforme a propriedade dos ângulos conjugados, portanto:
∠6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º
Por outro lado, ∠6 e ∠8 são ângulos opostos pelo vértice, cuja medida é a mesma. Portanto, ∠8 mede 55º.
O ângulo ∠1 também é oposto ao vértice a 125º, então podemos afirmar que ∠1 = 125º. Também podemos apelar para o fato de que os pares de ângulos correspondentes têm a mesma medida. Na figura, esses ângulos são:
∠7 = 125 º
∠2 = ∠6 = 55 º
∠1 = ∠5 = 125º
∠4 = ∠8 = 55 º
Encontre o valor de x na figura a seguir e os valores de todos os ângulos:
Como são pares correspondentes, segue-se que F = 73º. E por outro lado a soma dos pares conjugados é 180º, portanto:
3x + 20º + 73º = 180º
3x = 180º - 73º -20º = 87
Finalmente, o valor de x é:
x = 87/3 = 29
Quanto a todos os ângulos, eles estão listados na figura a seguir:
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