O Ângulos opostos pelo vértice são aqueles que cumprem o seguinte: os lados de um deles são as extensões dos lados do outro ângulo. O teorema fundamental dos ângulos opostos pelo vértice diz assim: dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.
Freqüentemente, a linguagem é abusada ao se dizer que os ângulos opostos ao vértice são iguais, o que não é correto. Só porque dois ângulos têm a mesma medida não significa que sejam iguais. É como dizer que duas crianças da mesma altura são iguais.
Lembre-se de que um ângulo é definido como a figura geométrica composta por dois raios com a mesma origem.
A Figura 1 mostra o ângulo névoa (azul) composto pelo raio [De) e o raio [Og) de origem comum OU. A Figura 1 também mostra o ângulo olá (vermelho) composto pelo raio [Ouvi) e o raio [Oh) ambos com origem OU.
Dois ângulos opostos pelo vértice são duas figuras geométricas diferentes. Para destacar isso, na figura 1 o ângulo foi colorido névoa azul, enquanto o ângulo olá foi colorido de vermelho.
Os ângulos azul e vermelho na Figura 1 são opostos no vértice porque: o raio [De) do ângulo azul é o prolongamento do raio [Oh) do ângulo vermelho e do raio [Og) do ângulo azul é o prolongamento do raio [Ouvi) do ângulo vermelho.
Índice do artigo
A figura geométrica que consiste em dois raios com origem comum é um ângulo. A imagem a seguir mostra o ângulo POQ formado pelos dois raios [OP) Y [OQ) de origem comum OU:
Os raios [OP) Y [OQ) são os lados angulares POQ, enquanto o ponto comum O é chamado vértice do ângulo.
Setor angular: Um ângulo divide o plano que o contém em dois setores angulares. Um deles é o setor angular convexo e o outro é o setor angular côncavo. A união dos dois setores dá o plano completo.
A Figura 2 mostra o ângulo POQ e seus dois setores angulares. O setor angular convexo é aquele com formato pontiagudo, enquanto o côncavo é o setor angular do plano que não possui o setor convexo..
Duas linhas de intersecção de um plano formam quatro ângulos e dividem o plano em quatro setores angulares.
A Figura 3 mostra as duas linhas (PQ) Y (RS) que são interceptados em OU. Lá pode ser visto que quatro ângulos são determinados:
-SOQ, QOR, ROP Y POS
Os ângulos SOQ Y QOR, QOR Y ROP, ROP Y POS, POS Y SOQ Eles são ângulos adjacentes um ao outro, enquanto SOQ Y ROP eles são opostos no vértice. Eles também são Ângulos opostos pelo vértice Os ângulos QOR Y POS.
Duas linhas secantes (linhas que se cruzam) são Linhas retas perpendiculares se eles determinam quatro setores angulares de igual medida. Se cada um dos quatro setores for simétrico com o setor angular adjacente, eles terão a mesma medida.
Cada um dos ângulos que determinam as duas linhas perpendiculares é chamado ângulo reto. Todos os ângulos retos têm a mesma medida.
Dada uma linha e um ponto nela, dois raios são definidos. Esses dois raios definem dois ângulos planos.
Na figura 3 você pode ver a linha (RS) e o ponto OU que pertence a (RS). O ângulo SOR é um ângulo plano. Também pode ser afirmado que o ângulo ROS é um ângulo plano. Todos os ângulos planos têm a mesma medida.
Um único raio define dois ângulos: um deles o do setor angular convexo é o ângulo nulo e o outro, o do setor angular côncavo é o ângulo total. Na figura 3 você pode ver o ângulo nulo SOS e ele ângulo total SOS.
Existem dois sistemas numéricos que são freqüentemente usados para dar a medida de um ângulo.
Um deles é o sistema sexagesimal, ou seja, baseado no número 60. É uma herança das antigas culturas mesopotâmicas. O outro sistema de medição de ângulos é o sistema de radianos, baseado no número π (pi) e é um legado dos antigos sábios gregos que desenvolveram a geometria.
Ângulo nulo: no sistema sexagesimal o ângulo nulo mede 0º (zero graus).
Ângulo total: é atribuída a medida 360º (trezentos e sessenta graus).
Ângulo plano: no sistema sexagesimal o ângulo do plano mede 180º (cento e oitenta graus).
Ângulo reto: duas linhas perpendiculares dividem o plano em quatro ângulos de igual medida chamados ângulos retos. A medida de um ângulo reto é a quarta parte do ângulo completo, ou seja, 90º (noventa graus).
O transferidor é o instrumento usado para medir ângulos. Consiste em um semicírculo (geralmente plástico transparente) dividido em 180 seções angulares. Visto que um semicírculo forma um ângulo plano, então a medida entre duas seções consecutivas é 1º.
O goniômetro é semelhante ao transferidor e consiste em um círculo dividido em 360 seções angulares.
Um ângulo cujos lados partem do centro do goniômetro cruzam dois setores e a medida desse ângulo em graus é igual ao número n de seções entre os dois setores interceptados, neste caso a medida será nº (lê-se “Graus de janeiro”).
Formalmente, o teorema é afirmado desta forma:
Se dois ângulos são verticalmente opostos, eles têm a mesma medida.
O ângulo SOQ tem medida α; o ângulo QOR tem medida β e ângulo ROP tem medida γ. A soma do ângulo SOQ mais ele QOR formar o ângulo do plano SOR medindo 180º.
Quer dizer que:
α + β = 180º
Por outro lado e usando o mesmo raciocínio com os ângulos QOR Y ROP se tem:
β + γ = 180º
Se observarmos as duas equações anteriores, a única maneira de ambas serem cumpridas é que α é igual a γ.
o que SOQ tem medida α e é oposto pelo vértice a ROP da medida γ, e como α = γ, conclui-se que os ângulos opostos ao vértice têm a mesma medida.
Com referência à Figura 4: Suponha que β = 2 α. Encontre a medida dos ângulos SOQ, QOR Y ROP em graus sexagesimais.
Como a soma do ângulo SOQ mais ele QOR formar o ângulo do plano SOR se tem:
α + β = 180º
Mas eles nos dizem que β = 2 α. Substituindo este valor de β temos:
α + 2 α = 180º
Quer dizer:
3 α = 180º
O que significa que α é a terceira parte de 180º:
α = (180º / 3) = 60º
Então a medida de SOQ é α = 60º. A medida de QOR é β = 2 α = 2 * 60º = 120º. Finalmente gosto ROP é oposto por vértice a SOQ então, de acordo com o teorema já provado, eles têm a mesma medida. Ou seja, a medida de ROP é γ = α = 60º.
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