O números imaginários são aqueles que dão uma solução para a equação em que a incógnita, ao quadrado, é igual a um número real negativo. A unidade imaginária é i = √ (-1).
Na equação: zdois= - a, z é um número imaginário expresso da seguinte forma:
z = √ (-a) = i√ (a)
Sendo para um número real positivo. sim a = 1, então z = i, Onde eu é a unidade imaginária.
Em geral, um número imaginário puro z é sempre expresso na forma:
z = y⋅i
Onde Y é um número real e eu é a unidade imaginária.
Assim como os números reais são representados em uma linha, chamada de verdadeiro direto, de forma análoga, os números imaginários são representados na linha imaginária.
O linha imaginária é sempre ortogonal (forma de 90º) ao verdadeiro direto e as duas linhas definem um plano cartesiano chamado de avião complexo.
Na figura 1 é mostrado o plano complexo e nele alguns números reais são representados, alguns números imaginários e também alguns números complexos:
X1, Xdois, X3 eles são números reais
Y1, Ydois, Y3 eles são números imaginários
Zdois e Z3 eles são números complexos
O número O é o zero real e também é o zero imaginário, então a origem O é o zero complexo expresso por:
0 + 0i
Índice do artigo
O conjunto de números imaginários é denotado por:
I = …, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i,…
E você pode definir algumas operações neste conjunto numérico. Um número imaginário nem sempre é obtido a partir dessas operações, então vamos examiná-los com um pouco mais de detalhes:
Números imaginários podem ser somados e subtraídos uns dos outros, resultando em um novo número imaginário. Por exemplo:
3i + 2i = 5i
4i - 7i = -3i
Quando o produto de um número imaginário com outro é feito, o resultado é um número real. Vamos fazer a seguinte operação para verificar:
2i x 3i = 6 x idois = 6 x (√ (-1))dois = 6 x (-1) = -6.
E como podemos ver, -6 é um número real, embora tenha sido obtido pela multiplicação de dois números imaginários puros.
Se um número real for multiplicado por i, o resultado será um número imaginário, que corresponde a uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário.
E é que eudois corresponde a duas rotações consecutivas de 90 graus, o que equivale a multiplicar por -1, ou seja, idois = -1. Isso pode ser visto no diagrama a seguir:
Por exemplo:
-3 x 5i = -15i
-3 x i = -3i.
Você pode definir a potencialização de um número imaginário para um expoente inteiro:
eu1 = i
eudois = i x i = √ (-1) x √ (-1) = -1
eu3 = i x idois = -i
eu4 = idois XIdois = -1 x -1 = 1
eu5 = i x i4 = i
Em geral, você tem que eun = i ^ (n mod 4), Onde mod é o resto da divisão entre n Y 4.
A potenciação de número inteiro negativo também pode ser realizada:
eu-1 = 1 / i1 = i / (i x i1) = i / (idois) = i / (-1) = -i
eu-dois = 1 / idois = 1 / (-1) = -1
eu-3= 1 / i3 = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 x i-1 = (-1) x (-i) = i
Em geral, o número imaginário b⋅i elevado à potência n é:
(b⋅i) in = bn eun = bn i ^ (n mod 4)
Alguns exemplos são os seguintes:
(5 i)12 = 512 eu12 = 512 eu0 = 512 x 1 = 244140625
(5 i)onze = 5onze euonze = 5onze eu3 = 5onze x (-i) = -48828125 i
(-2 i)10 = -210 eu10 = 210 eudois = 1024 x (-1) = -1024
Quando você adiciona um número real com um imaginário, o resultado não é real nem imaginário, é um novo tipo de número chamado número complexo.
Por exemplo, se X = 3,5 e Y = 3,75i, o resultado é o número complexo:
Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i
Observe que na soma as partes real e imaginária não podem ser agrupadas, portanto, um número complexo sempre terá uma parte real e uma parte imaginária..
Esta operação estende o conjunto de números reais ao mais amplo dos números complexos.
O nome dos números imaginários foi proposto pelo matemático francês René Descartes (1596-1650) como uma zombaria ou desacordo com a proposta do mesmo feita pela matemática italiana do século Raffaelle Bombelli.
Outros grandes matemáticos, como Euler e Leibniz, apoiaram Descartes nesta discordância e chamaram de números imaginários números de anfíbios, que estavam divididos entre o ser e o nada.
O nome dos números imaginários permanece até hoje, mas sua existência e importância são muito reais e palpáveis, uma vez que aparecem naturalmente em muitos campos da física como:
-A teoria da relatividade.
-No eletromagnetismo.
-Mecânica quântica.
Encontre as soluções da seguinte equação:
zdois + 16 = 0
zdois = -16
Tomando raiz quadrada em ambos os membros, temos:
√ (zdois ) = √ (-16)
± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = i x 4 = 4i
Em outras palavras, as soluções da equação original são:
z = + 4i ou z = -4i.
Encontre o resultado de elevar a unidade imaginária à potência 5 menos a subtração da unidade imaginária elevada à potência -5.
eu5 - eu-5 = i5 - 1 / i5 = i - 1 / i = i - (i) / (i x i) = i - i / (- 1) = i + i = 2i
Encontre o resultado da seguinte operação:
(3i)3 + 9i
33 eu3 - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i
Encontre as soluções da seguinte equação quadrática:
(-2x)dois + 2 = 0
A equação é reorganizada da seguinte forma:
(-2x)dois = -2
Em seguida, a raiz quadrada de ambos os membros é obtida
√ ((- 2x)dois) = √ (-2)
± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i
Em seguida, resolvemos x para finalmente obter:
x = ± √2 / 2 i
Ou seja, existem duas soluções possíveis:
x = (√2 / 2) i
Ou este outro:
x = - (√2 / 2) i
Encontre o valor de Z definido por:
Z = √ (-9) √ (-4) + 7
Sabemos que a raiz quadrada de um número real negativo é um número imaginário, por exemplo √ (-9) é igual a √ (9) x √ (-1) = 3i.
Por outro lado, √ (-4) é igual a √ (4) x √ (-1) = 2i.
Portanto, a equação original pode ser substituída por:
3i x 2i - 7 = 6 idois - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13
Encontre o valor de Z resultante da seguinte divisão de dois números complexos:
Z = (9 - idois) / (3 + i)
O numerador da expressão pode ser fatorado usando a seguinte propriedade:
Uma diferença de quadrados é o produto da soma e a diferença dos binômios sem quadratura.
Então:
Z = [(3 - i) (3 + i)] / (3 + i)
A expressão resultante é então simplificada, deixando
Z = (3 - i)
Ainda sem comentários