O números negativos são aqueles à esquerda da reta numérica, sempre precedidos por um sinal -. Por meio de negativos é possível representar quantidades que estão abaixo ou à esquerda de 0.
Esses números participam ativamente da vida cotidiana: por exemplo, se alguém tem uma dívida de $ 5, mas só pode pagar $ 3, deve $ 2. A dívida é denotada com um sinal negativo para distingui-la do valor pago.
Posições abaixo do nível do mar, temperaturas abaixo do ponto de congelamento da água e andares abaixo do nível da rua podem ser indicados por números negativos..
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A existência de negativos amplia as operações numéricas possíveis. Vejamos o exemplo da subtração de dois números. Se esses números pertencem ao natural 1, 2, 3, 4, 5 ... a subtração só faz sentido se for feita subtraindo de outro número menor que ele.
O resultado da operação 10 - 7 = 3 é razoável, uma vez que, em princípio, não podemos tirar mais de uma quantidade do que ela representa.
No entanto, os negativos descreveriam bem essa outra situação: queremos comprar algo no valor de $ 20, mas temos apenas $ 15 e pedimos $ 5 emprestados de um amigo. A dívida, como já dissemos, é marcada com um sinal negativo e, portanto, 15 - 20 = -5, que é lido como "menos 5".
O conjunto de inteiros negativos junto com o natural e 0, formam o conjunto mais amplo de inteiros Z.
Mas os negativos também podem ser fracionários ou decimais e pertencem a um conjunto ainda maior: o dos números reais R, que inclui o racional e o irracional..
Com todos eles realizam-se as conhecidas operações aritméticas, tendo o cuidado de operar seguindo algumas regras simples de signos que se explicam a seguir..
Antes de realizar operações com números negativos, você deve estabelecer algumas regras simples para lidar com o sinal (-) que deve ser sempre prefixado e a ordem dos números.
Considere a reta numérica mostrada na figura, com os negativos à esquerda de 0 e os positivos à direita.
As setas na reta numérica em ambas as direções indicam que existem números infinitos. Observe também que o conjunto numérico de inteiros é um conjunto ordenado e qualquer número negativo é menor que 0 e qualquer número positivo..
Assim, -4 é menor que 1 e -540 é menor que 84, por exemplo.
A distância entre qualquer número e 0 é chamada valor absoluto. Essa distância é sempre positiva e é denotada por barras verticais, assim:
│-5│ = 5
│ + √6│ = √6
│-3 / 4│ = 3/4
│-10,2│ = 10,2
Ou seja, o valor absoluto de qualquer número, seja positivo ou negativo, é o positivo do número. Este conceito nos ajudará mais tarde, ao operar com números negativos.
Outro detalhe muito importante é a distinção entre o sinal do número e o sinal da operação..
Quando um número é positivo, o sinal do número costuma ser omitido e entende-se que é positivo mesmo assim, mas com negativos isso não é possível, portanto é necessário o uso de parênteses, vejamos:
-Correto: 17 - (-6) ou também +17 - (-6)
-Incorreto: 17 - -6
-Incorreto: -5 + +7
-Correto: - 5 + (+7) ou também -5 + 7
Uma vez que os conceitos de valor absoluto, ordem e importância do sinal negativo são claros, podemos passar para as operações elementares.
Distinguimos os seguintes casos, começando com a soma de dois positivos, cujo procedimento já é muito familiar:
-Adicione dois números positivos: (+ a) + (+ b) = a + b
O que significa que adicionamos como de costume, vejamos:
(+8) + (+5) = 8 + 5 = 13
-Adicione dois números negativos: (-a) + (-b) = - (a + b)
Neste caso, adicionamos os valores absolutos dos números e o resultado é precedido de um sinal negativo, como este:
(-7) + (-11) = - (7 + 11) = - 18
-Adicione um negativo e um positivo: (+ a) + (-b)
Para esta operação, os valores absolutos são subtraídos e o resultado traz o sinal do número com o maior valor absoluto. Vamos fazer alguns casos:
a) (-16) + (+3)
Os respectivos valores absolutos são 16 e 3, o número com o maior valor absoluto é 16, cujo sinal é negativo, então:
(-16) + (+3) = - (16 - 3) = -13
b) (+8) + (-3) = + (8-3) = +5 = 5
A soma dos negativos também é comutativa, o que significa que a ordem dos adendos não é importante para o resultado..
As regras anteriores se aplicam se você deseja adicionar mais de dois números, o que pode ser feito com a propriedade associativa: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c).
Antes de olhar para um exemplo neste caso, vamos primeiro olhar para a subtração de dois números inteiros.
A subtração é definida como a soma do oposto. O oposto de um número a é -a, assim:
-4 é o oposto de + 4
½ é o oposto de -½
Se formos solicitados a realizar a subtração de dois números, independentemente do sinal, simplesmente adicionamos o oposto do segundo ao primeiro:
a) (-53) - (+8) = (-53) + (-8) = - (53 + 8) = -61
b) (+7) - (-12) = (+7) + (+12) = 7 + 12 = 19
c) (+2) - (+ π) = (+2) + (-π) = 2 - π
Execute a seguinte operação (+4) + (-7) + (+19)
Nós o reescrevemos assim com a ajuda de colchetes para indicar a operação a ser realizada primeiro:
(+4) + (-7) + (+19) = [(+4) + (-7)] + (+19) = [- (4 -7)] + 19 = [- (-3)] + 19 = 19 - (-3) = 19 + (+3) = 22
A regra dos sinais para multiplicação é resumida na seguinte figura:
-Comutatividade: a ordem dos fatores não altera o produto, portanto ≠ = b.a onde aeb são números negativos, inteiros ou fracionários.
-Associatividade: Sejam a, bec inteiros, é verdade que (a.b). c = a. (b.c)
-Distributividade em relação à soma: sejam a, bec inteiros, é válido que a. (b + c) = a.b + a.c
(-3/2) x [(-5) + (+4) - (+2)] = (-3/2) x (-5) + (-3/2) x (+4) + (- 3/2) x (-2) = (15 - 12 + 6) / 2 = 9/2
Você também poderia resolver a operação entre colchetes primeiro e multiplicar o resultado por (-3/2), assim:
(-3/2) x [-5 + 4 - 2] = (-3/2) x (-3) = 9/2
A regra dos sinais para divisão é mostrada na figura a seguir:
A divisão não é comutativa e geralmente a ÷ b ≠ b ÷ a, a divisão por 0 não é permitida. Vejamos um exemplo:
(-54) ÷ (+3) = -18
Para obter este resultado, basta fazer o quociente e o sinal é escolhido de acordo com a tabela mostrada na figura, que corresponde à terceira opção de cima para baixo.
Empowerment é a operação da forma de umn, onde a é a base e n é o expoente. A base e o expoente podem ter qualquer sinal.
-Se a base for negativa ou positiva e o expoente for um número inteiro par, o resultado da operação é sempre positivo.
-Quando a base é positiva e o expoente é um número inteiro ímpar, o resultado é positivo.
-E se a base for negativa e o expoente for um número inteiro ímpar, o resultado é negativo.
Os expoentes fracionários são alternativamente expressos como uma raiz, por exemplo, uma raiz quadrada é equivalente ao expoente fracionário ½, uma raiz cúbica é equivalente ao expoente 1/3 e assim por diante.
Vejamos alguns exemplos:
a) (-3)3 = (-3) x (-3) x (-3) = -27
b) 16 -1/2 = 1 / √16 = ¼
c) (+8) 1/3 = raiz cúbica de 8 = 2
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