UMA número perfeito é um número natural tal que a soma de seus divisores é igual ao número. Obviamente, o próprio número não pode ser incluído entre os divisores.
Um dos exemplos mais simples de um número perfeito é 6, já que seus divisores são: 1, 2 e 3. Se somarmos os divisores, obtemos: 1 + 2 + 3 = 6.
A soma dos divisores de um inteiro, sem incluir o próprio número, é chamada alíquota. Portanto, um número perfeito é igual à sua alíquota.
Mas se o próprio número for incluído na soma dos divisores de um número, então um número perfeito será aquele em que a soma de todos os seus divisores divididos por 2 seja igual ao próprio número..
Índice do artigo
Os matemáticos da antiguidade, particularmente os gregos, davam grande importância aos números perfeitos e atribuíam qualidades divinas a eles..
Por exemplo, Filo de Alexandria, por volta do século I, afirmava que 6 e 28 são números perfeitos que coincidem com os seis dias da criação do mundo e os 28 dias que a Lua leva para dar a volta à Terra..
Números perfeitos também estão presentes na natureza, por exemplo, no pólo norte de Saturno também aparece o número perfeito 6, um vórtice em forma de hexágono encontrado pela sonda Cassini e que intrigou os cientistas..
Os favos de mel das abelhas possuem células em formato hexagonal, ou seja, com 6 lados. Foi demonstrado que o polígono com o número perfeito 6 é aquele que permite maximizar o número de células na colméia, com o mínimo de cera para sua elaboração..
A soma de todos os divisores de um número natural n é denotada por σ (n). Em um número perfeito, fica satisfeito que: σ (n) = 2n.
Euclides descobriu uma fórmula e um critério que permite encontrar os números perfeitos. Esta fórmula é:
dois(n-1) (doisn -1)
Porém, o número gerado pela fórmula será perfeito somente quando o fator (2n -1) ser primo.
Vamos ver como os primeiros números perfeitos são gerados:
Se n = 2, então ficamos com 21 (doisdois - 1) = 2 x 3 = 6 que já vimos é perfeito.
Quando n = 3, temos 2dois (dois3 - 1) = 4 x 7 = 28 que também é perfeito, conforme verificado em detalhes no exemplo 1.
Vamos ver o que acontece com n = 4. Ao substituir na fórmula de Euclides, temos:
dois3 (dois4 - 1) = 8 x 15 = 120
Pode-se verificar que esse número não é perfeito, conforme detalhado no Exemplo 3. Isso não contradiz o critério de Euclides, uma vez que 15 não é primo, requisito necessário para que o resultado seja um número perfeito.
Agora vamos ver o que acontece quando n = 5. Aplicando a fórmula que temos:
dois4 (dois5 - 1) = 16 x 31 = 496
Como 31 é um número primo, o número 496 deve ser perfeito, de acordo com os critérios de Euclides. No exemplo 4, é mostrado em detalhes que é de fato.
Números primos que têm a forma 2p - Chamo-me primos Mersenne, em homenagem ao monge Marin Mersenne, que estudou números primos e números perfeitos no século XVII..
Mais tarde, no século 18, Leonhard Euler mostrou que todos os números perfeitos gerados pela fórmula de Euclides são pares.
Até o momento, nenhum perfeito foi encontrado que seja estranho.
Até o momento, são conhecidos 51 números perfeitos, todos gerados pela fórmula e pelo critério de Euclides. Este número foi obtido uma vez que o primo maior de Mersenne foi encontrado, que é: (282589933 - 1).
O número perfeito # 51 é (282589933) x (282589933 - 1) e tem 49724095 dígitos.
Na teoria dos números é dito que dois números são amigos quando a soma dos divisores de um, sem incluir o próprio número, é igual ao outro número e vice-versa.
O leitor pode verificar que a soma dos divisores de 220, não incluindo 220 é 284. Por outro lado, a soma dos divisores de 284, não incluindo 284, é igual a 220. Portanto, o par de números 220 e 284 são amigos.
Deste ponto de vista, um número perfeito é amigo de si mesmo..
Os primeiros oito números perfeitos estão listados abaixo:
6
28
496
8128
33550336
8589869056
137438691328
2305843008139952128
Nos exercícios seguintes, será necessário calcular os divisores de um número, para então somá-los e verificar se o número é um número perfeito ou não..
Portanto, antes de abordar os exercícios, revisaremos o conceito e mostraremos como eles são calculados..
Para começar, você deve lembrar que os números podem ser primos (quando eles só podem ser divididos exatamente entre si e 1) ou compostos (quando podem ser decompostos como um produto de números primos).
Para um número composto N, temos:
N = an . bm. cp ... rk
Onde a, b, c ... r são números primos e n, m, p ... k são expoentes pertencentes aos números naturais, que podem ser de 1 em diante.
Em termos desses expoentes, existe uma fórmula para saber quantos divisores o número N tem, embora não nos diga quais são. Seja C esta quantidade, então:
C = (n +1) (m + 1) (p +1) ... (k + 1)
Decompor o número N como um produto de números primos e saber quantos divisores ele possui, tanto primos quanto não primos, nos ajudará a determinar quais são esses divisores..
Depois de ter todos eles, exceto o último que não é obrigatório na soma, você pode verificar se é um número perfeito ou não.
Verifique se o número 28 é perfeito.
A primeira coisa será decompor o número em seus fatores primos.
28 | 2
14 | 2
07 | 7
01 | 1
Seus divisores são: 1, 2, 4, 7, 14 e 28. Se excluirmos 28, a soma dos divisores dá:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 3 + 4 + 7 + 14 = 7 + 7 + 14 = 14 + 14 = 28
Portanto, 28 é um número perfeito.
Além disso, a soma de todos os seus divisores é 28 + 28, então a regra σ (28) = 2 x 28 é cumprida.
Decidir se o número 38 é perfeito ou não.
O número é decomposto em seus fatores principais:
39 | 3
13 | 13
01 | 1
Os divisores de 39 sem incluir o próprio número são: 1, 3 e 13. A soma 1 + 3 + 13 = 4 + 13 = 17 não é igual a 39, portanto 39 é um número imperfeito ou não perfeito.
Descubra se o anjo número 120 é perfeito ou imperfeito.
Procedemos para decompor o número em seus fatores primos:
120 | 2
060 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 | 1
A partir dos fatores principais, procedemos para encontrar os divisores:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 e 120
Se 120 forem perfeitos, adicionar todos os seus divisores deve obter 2 x 120 = 240.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360
Este resultado é claramente diferente de 240, portanto, conclui-se que o número 120 não é um número perfeito..
Verifique se o número 496, obtido pelo critério de Euclides, é um número perfeito.
O número 496 é decomposto em seus fatores principais:
496 | 2
248 | 2
124 | 2
062 | 2
031 | 31
001 | 1
Portanto, seus divisores são:
1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496
Agora todos eles são adicionados, exceto 496:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
Confirmando que é realmente um número perfeito.
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