As ondas estacionárias São ondas que se propagam em um meio limitado, indo e vindo em uma parte do espaço, ao contrário das ondas viajantes, que ao se propagarem se afastam da fonte que as originou e não retornam a ela..
São a base dos sons produzidos nos instrumentos musicais, pois surgem facilmente nas cordas fixas, seja em uma extremidade ou em ambas. Eles também são criados em membranas estreitas, como tambores, ou dentro de tubos e estruturas, como pontes e edifícios..
Quando você tem uma corda fixa em ambas as pontas, como a de um violão, por exemplo, são criadas ondas com amplitude e frequência idênticas, que viajam em direções opostas e se combinam para produzir um fenômeno chamado interferência.
Se as ondas estão em fase, os picos e vales ficam alinhados e resultam em uma onda com o dobro da amplitude. Nesse caso, falamos de interferência construtiva.
Mas se as ondas interferentes estão fora de fase, os picos de uma encontram os vales das outras e a amplitude resultante é zero. É então sobre interferência destrutiva.
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Os principais elementos da onda para representá-la no espaço e no tempo são sua amplitude A, seu comprimento de onda λ e sua frequência angular ω.
Na representação matemática, é preferível usar k, do que o número de onda ou o número de vezes que a onda ocorre por unidade de comprimento. É por isso que é definido através do comprimento de onda λ que é a distância entre dois vales ou duas cristas:
k = 2π / λ
Enquanto o frequência angular refere-se ao período ou duração de uma oscilação completa, como:
ω = 2π / T
E também a frequência f é dada por:
f = ω / 2π
Portanto:
f = 1 / T
Além disso, as ondas se movem com velocidade v de acordo com:
v = λ.f
Matematicamente, podemos expressar uma onda usando a função seno ou a função cosseno. Suponha que temos ondas de igual amplitude A, comprimento de onda λ e frequência ω, propagando-se ao longo de uma corda e em direções opostas:
Y1 = A sin (kx - ωt)
Ydois = A sin (kx + ωt)
Ao adicioná-los, encontramos a onda resultante eR:
YR = e1 + Ydois = A sin (kx - ωt) + A sin (kx + ωt)
Existe uma identidade trigonométrica para encontrar a soma:
sin α + sin β = 2 sin (α + β) / 2. cos (α - β) / 2
Por essa identidade, a onda resultante yR permanece:
YR = [2A sen kx]. cos ωt
A onda resultante tem amplitude AR = 2Asen kx, que depende da posição da partícula. Então, nos pontos para os quais sen kx = 0, a amplitude da onda desaparece, ou seja, não há vibração.
Esses pontos são:
kx = π, 2π, 3π ...
Uma vez que k = 2 π / λ:
(2 π / λ) x = π, 2π, 3π…
x = λ / 2, λ, 3λ / 2 ...
Interferência destrutiva ocorre em tais pontos e é chamada nós. Eles são separados por uma distância igual a λ / 2, conforme deduzido do resultado anterior.
E entre dois nós consecutivos estão os antinodos ou barrigas, em que a amplitude da onda é máxima, já que ali ocorre interferência construtiva. Eles ocorrem quando:
sin kx = ± 1
kx = ± π / 2, 3π / 2, 5π / 2…
Novamente k = 2 π / λ e então:
x = λ / 4, 3λ / 4, 5λ / 4, ...
As condições de contorno na string determinam como são os comprimentos de onda e as frequências. Se uma corda de comprimento L é fixada em ambas as extremidades, ela não pode vibrar com nenhuma frequência, porque os pontos onde a corda é fixada já são nós.
Além disso, a separação entre os nós adjacentes é λ / 2, e entre o nó e a barriga é λ / 4, desta forma, apenas para certos comprimentos de onda são produzidas ondas estacionárias: aquelas em que um número inteiro n de λ / 2 se encaixa dentro de:
(λ / 2) = L, com n = 1, 2, 3, 4 ... .
Portanto:
λ = 2L / n
Os diferentes valores que λ assume são chamados harmônicos. Assim, temos:
-Primeiro harmônico: λ = 2L
-Segundo harmônico: λ = L
-Terceiro harmônico: λ = 2 L / 3
-Quarta harmônica: λ = L / 2
E assim por diante.
Mesmo que a onda estacionária não pareça estar se movendo, a equação ainda é válida:
v = λ. F
Portanto:
v = (2L / n). F
f = nv / 2L
Agora, pode ser mostrado que a velocidade com que uma onda viaja em uma corda depende da tensão T nela e de sua densidade linear de massa μ (massa por unidade de comprimento) como:
Portanto:
-Quando as ondas estão estacionárias, a onda resultante não se propaga da mesma forma que seus componentes, que vão de um lado para o outro. Existem pontos onde y = 0 porque não há vibração: os nós, ou seja, a amplitude AR torna-se zero.
-A expressão matemática de uma onda estacionária consiste no produto de uma parte espacial (que depende da coordenada x ou coordenadas espaciais) e uma parte temporal.
-Entre os nós, a onda preta resultante oscila em um lugar, enquanto as ondas que vão de um lado para o outro estão fora de fase ali..
-A energia não é transportada diretamente para os nós, pois isso é proporcional ao quadrado da amplitude, mas fica presa entre os nós.
-A distância entre os nós adjacentes é a metade do comprimento de onda.
-Os pontos nos quais a corda é fixada também são considerados nós..
As ondas em uma corda fixa são exemplos de ondas estacionárias em uma dimensão, cuja descrição matemática oferecemos nas seções anteriores..
As ondas estacionárias também podem ser apresentadas em duas ou três dimensões, sendo sua descrição matemática um pouco mais complexa.
-Uma corda fixada em uma extremidade que é oscilada com a mão ou com um pistão na outra gera ondas estacionárias ao longo de seu comprimento.
-Tocar instrumentos de cordas como violão, harpa, violino e piano também cria ondas estacionárias, pois possuem cordas ajustadas para diferentes tensões e fixadas em ambas as extremidades.
As ondas estacionárias também são criadas em tubos com ar, como tubos de órgãos..
As ondas estacionárias surgem em estruturas como pontes e edifícios. Um caso notável foi o da ponte suspensa Tacoma Narrows, perto da cidade de Seattle, nos Estados Unidos. Pouco depois de ser inaugurada em 1940, esta ponte ruiu devido às ondas estacionárias criadas pelo vento..
A frequência do vento foi emparelhada com a frequência natural da ponte, criando ondas estacionárias nela, que foram aumentando em amplitude até que a ponte desabou. O fenômeno é conhecido como ressonância.
Nos portos existe um fenômeno muito curioso chamado Seiche, em que as ondas do mar produzem grandes oscilações. Isso se deve ao fato de as águas do porto serem bastante fechadas, embora as águas oceânicas penetrem de vez em quando pela entrada do porto..
As águas portuárias se movem com freqüência própria, como as do oceano. Se ambas as águas igualam suas frequências, uma grande onda estacionária é produzida por ressonância, como aconteceu com a ponte de Tacoma..
O Seiches Eles também podem ocorrer em lagos, reservatórios, piscinas e outros corpos d'água de superfície limitada..
Ondas estacionárias podem ser criadas em um tanque de peixes carregado por uma pessoa, se a frequência com que a pessoa anda for igual à frequência do balanço da água.
Uma corda de violão tem L = 0,9 me uma densidade de massa linear μ = 0,005 kg / m. Está sujeito a 72 N de tensão e seu modo de vibração é o mostrado na figura, com amplitude 2A = 0,5 cm.
Achar:
a) Velocidade de propagação
b) Frequência de onda
c) A equação da onda estacionária correspondente.
Através:
Se obtem;
v = [72 N / (0,005 kg / m)]1/2 = 120 m / s.
A distância entre dois nós adjacentes é λ / 2, portanto:
(2/3) L - (1/3) L = λ / 2
(1/3) L = λ / 2
λ = 2L / 3 = 2 x 0,90 m / 3 = 0,60 m.
Uma vez que v = λ.f
f = (120 m / s) / 0,60 m = 200 s-1= 200 Hz.
A equação é:
YR = [2A sen kx]. cos ωt
Precisamos substituir os valores:
k = 2π / λ = k = 2π / 0,60 m = 10 π / 3
f = ω / 2π
ω = 2π x 200 Hz = 400 π Hz.
A amplitude 2A já é dada pela afirmação:
2A = 0,5 cm = 5 x 10 -3 m.
Portanto:
YR = 5 x 10 -3 m. sin [(10π / 3) x]. cos (400πt) =
= 0,5 cm. sin [(10π / 3) x]. cos (400πt)
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