UMA paralelepípedo é um corpo geométrico formado por seis faces, cuja principal característica é que todas as suas faces são paralelogramos e também que suas faces opostas são paralelas entre si. É um poliedro comum no nosso dia-a-dia, pois podemos encontrá-lo em caixas de sapatos, em forma de tijolo, em forma de micro-ondas, etc..
Sendo um poliedro, o paralelepípedo encerra um volume finito e todas as suas faces são planas. Faz parte do grupo de prismas, que são aqueles poliedros em que todos os seus vértices estão contidos em dois planos paralelos.
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São cada uma das regiões formadas por paralelogramos que limitam o paralelepípedo. Um paralelepípedo possui seis faces, sendo que cada face possui quatro faces adjacentes e uma oposta. Além disso, cada face é paralela com seu oposto.
Eles são o lado comum de duas faces. No total, um paralelepípedo tem doze arestas.
É o ponto comum de três faces adjacentes uma a outra duas a duas. Um paralelepípedo tem oito vértices.
Dadas duas faces de um paralelepípedo opostas, podemos desenhar um segmento de reta que vai do vértice de uma face ao vértice oposto da outra..
Este segmento é conhecido como diagonal do paralelepípedo. Cada paralelepípedo possui quatro diagonais.
É o ponto em que todas as diagonais se cruzam.
Como já mencionamos, este corpo geométrico possui doze arestas, seis faces e oito vértices..
Em um paralelepípedo, podem ser identificados três conjuntos formados por quatro arestas, que são paralelas entre si. Além disso, as arestas desses conjuntos também têm a propriedade de ter o mesmo comprimento.
Outra propriedade dos paralelepípedos é que são convexos, ou seja, se tomarmos qualquer par de pontos pertencentes ao interior do paralelepípedo, o segmento determinado por esse par de pontos também estará dentro do paralelepípedo..
Além disso, paralelepípedos sendo poliedros convexos, obedecem ao teorema de Euler para poliedros, que nos dá uma relação entre o número de faces, o número de arestas e o número de vértices. Essa relação é dada na forma da seguinte equação:
C + V = A + 2
Esta característica é conhecida como característica de Euler..
Onde C é o número de faces, V o número de vértices e A o número de arestas.
Podemos classificar paralelepípedos com base em suas faces, nos seguintes tipos:
São os paralelepípedos onde suas faces são formadas por seis retângulos. Cada retângulo é perpendicular àqueles que compartilham uma aresta. São os mais comuns no nosso dia-a-dia, sendo esta a forma usual de caixas de sapatos e tijolos..
Este é um caso particular do anterior, onde cada uma das faces é um quadrado.
O cubo também faz parte dos corpos geométricos chamados sólidos platônicos. Um sólido platônico é um poliedro convexo, de forma que suas faces e ângulos internos são iguais..
É um paralelepípedo com losangos na face. Esses losangos são todos iguais, uma vez que compartilham bordas.
Suas seis faces são rombóides. Lembre-se de que um romboide é um polígono com quatro lados e quatro ângulos que são iguais a dois para dois. Romboides são paralelogramos que não são quadrados, nem retângulos, nem losangos.
Já os paralelepípedos oblíquos são aqueles em que pelo menos uma altura não condiz com sua borda. Nesta classificação podemos incluir romboedros e romboedros..
Para calcular a diagonal de um ortoedro, podemos usar o teorema de Pitágoras para R3.
Lembre-se de que um ortoedro tem a característica de cada lado ser perpendicular aos lados que compartilham uma aresta. Deste fato podemos deduzir que cada aresta é perpendicular àquelas que compartilham um vértice.
Para calcular o comprimento de uma diagonal de um ortoedro procedemos da seguinte forma:
1. Calculamos a diagonal de uma das faces, que colocaremos como base. Para isso, usamos o teorema de Pitágoras. Vamos nomear esta diagonal db.
dois. Então com db podemos formar um novo triângulo retângulo, de modo que a hipotenusa do referido triângulo seja a diagonal D procurada.
3. Usamos o teorema de Pitágoras novamente e temos que o comprimento da referida diagonal é:
Outra forma de calcular diagonais de uma forma mais gráfica é com a soma de vetores livres.
Lembre-se de que dois vetores livres A e B são adicionados colocando a cauda do vetor B com a ponta do vetor A.
O vetor (A + B) é aquele que começa na cauda de A e termina na ponta de B.
Vamos considerar um paralelepípedo para o qual desejamos calcular uma diagonal.
Nós identificamos as arestas com vetores convenientemente orientados.
Em seguida, adicionamos esses vetores e o vetor resultante será a diagonal do paralelepípedo.
A área de um paralelepípedo é dada pela soma de cada uma das áreas de suas faces.
Se determinarmos um dos lados como base,
PARAeu + 2AB = Área Total
Para ondeeu é igual à soma das áreas de todos os lados adjacentes à base, denominada área lateral e AB é a área da base.
Dependendo do tipo de paralelepípedo com o qual estamos trabalhando, podemos reescrever esta fórmula.
É dado pela fórmula
A = 2 (ab + bc + ca).
Dado o seguinte ortoedro, com lados a = 6 cm, b = 8 cm ec = 10 cm, calcule a área do paralelepípedo e o comprimento de sua diagonal.
Usando a fórmula para a área de um ortoedro, temos que
A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cmdois.
Observe que, uma vez que é um ortoedro, o comprimento de qualquer uma de suas quatro diagonais é o mesmo.
Usando o teorema de Pitágoras para o espaço, temos que
D = (6dois + 8dois + 10dois)1/2 = (36 + 64 + 100)1/2 = (200)1/2
Como cada aresta tem o mesmo comprimento, temos que a = be a = c. Substituindo na fórmula anterior, temos
A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3adois) = 6adois
A = 6adois
A caixa de uma consola de jogos tem a forma de um cubo. Se quisermos embrulhar esta caixa com papel de embrulho, quanto papel gastaríamos sabendo que o comprimento das bordas do cubo é de 45 cm?
Usando a fórmula para a área do cubo, obtemos que
A = 6 (45 cm)dois = 6 (2025 cmdois) = 12150 cmdois
Como todas as faces são iguais, basta calcular a área de uma delas e multiplicá-la por seis..
Temos que a área de um losango pode ser calculada através de suas diagonais com a seguinte fórmula
PARAR = (Dd) / 2
Usando esta fórmula, segue que a área total do romboedro é
PARAT = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.
As faces do romboedro seguinte são formadas por um losango cujas diagonais são D = 7 cm ed = 4 cm. Sua área será
A = 3 (7cm) (4cm) = 84cmdois.
Para calcular a área de um romboedro devemos calcular a área dos rombóides que o compõem. Como os paralelepípedos cumprem a propriedade de que lados opostos têm a mesma área, podemos associar os lados em três pares.
Desta forma temos que sua área será
PARAT = 2b1h1 + 2bdoishdois + 2b3h3
Onde o beu são as bases associadas aos lados e ao heu sua altura relativa correspondente às ditas bases.
Considere o seguinte paralelepípedo,
onde o lado A e o lado A '(seu lado oposto) têm uma base b = 10 e uma altura h = 6. A área marcada terá um valor de
PARA1 = 2 (10) (6) = 120
O B e B 'têm b = 4 e h = 6, então
PARAdois = 2 (4) (6) = 48
E C e C 'têm b = 10 e h = 5, portanto
PARA3 = 2 (10) (5) = 100
Finalmente, a área do romboedro é
A = 120 + 48 + 100 = 268.
A fórmula que nos dá o volume de um paralelepípedo é o produto da área de uma de suas faces pela altura correspondente a essa face.
V = AChC
Dependendo do tipo de paralelepípedo, esta fórmula pode ser simplificada.
Assim, temos por exemplo que o volume de um ortoedro seria dado por
V = abc.
Onde a, bec representam o comprimento das bordas do ortoedro.
E no caso particular do cubo é
V = a3
Existem três modelos diferentes de caixas de biscoitos e você quer saber em qual desses modelos você pode armazenar mais biscoitos, ou seja, qual das caixas tem o maior volume.
O primeiro é um cubo cuja aresta tem comprimento de a = 10 cm
Seu volume será V = 1000 cm3
O segundo tem bordas b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm
E, portanto, seu volume é V = 765 cm3
E o terceiro tem e = 9 cm, f = 9 cm e g = 13 cm
E seu volume é V = 1053 cm3
Portanto, a caixa com o maior volume é a terceira.
Outro método para obter o volume de um paralelepípedo é usar álgebra vetorial. Em particular, o produto de ponto triplo.
Uma das interpretações geométricas que o produto escalar triplo tem é a do volume do paralelepípedo, cujas arestas são três vetores que compartilham o mesmo vértice como ponto de partida..
Desta forma, se temos um paralelepípedo e queremos saber qual é o seu volume, basta representá-lo em um sistema de coordenadas em R3 fazendo um de seus vértices coincidir com a origem.
Em seguida, representamos as arestas que coincidem na origem com vetores como mostrado na figura.
E desta forma temos que o volume do dito paralelepípedo é dado por
V = | AxB ∙ C |
Ou equivalentemente, o volume é o determinante da matriz 3 × 3, formada pelos componentes dos vetores de borda.
Ao representar o seguinte paralelepípedo em R3 podemos ver que os vetores que o determinam são os seguintes
u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) ew = (-0,25, -4, 4)
Usando o produto de ponto triplo, temos
V = | (uxv) ∙ w |
uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)
(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60
Disto concluímos que V = 60
Vamos agora considerar o seguinte paralelepípedo em R3 cujas arestas são determinadas pelos vetores
A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) e C = (3, 4, 4)
O uso de determinantes nos dá que
Assim, temos que o volume do referido paralelepípedo é de 112.
Ambos são formas equivalentes de calcular o volume.
Um ortoedro é conhecido como tijolo de Euler (ou bloco de Euler) que cumpre a propriedade de que tanto o comprimento de suas bordas quanto o comprimento das diagonais de cada uma de suas faces são inteiros.
Embora Euler não tenha sido o primeiro cientista a estudar os ortoedros que cumprem essa propriedade, ele encontrou resultados interessantes sobre eles..
O menor tijolo de Euler foi descoberto por Paul Halcke e os comprimentos de suas bordas são a = 44, b = 117 ec = 240.
Um problema aberto na teoria dos números é o seguinte
Existem ortoedros perfeitos?
No momento, esta questão não foi respondida, uma vez que não foi possível provar que tais órgãos não existam, mas também não foi encontrado nenhum..
O que foi mostrado até agora é que existem paralelepípedos perfeitos. O primeiro a ser descoberto tem no comprimento de suas bordas os valores 103, 106 e 271.
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