O perímetro do círculo é o conjunto de pontos que formam o contorno de um círculo e também é conhecido como comprimento da circunferência. Depende do raio, uma vez que uma circunferência maior obviamente terá um contorno maior.
Ser P o perímetro de um círculo e R o raio dele, então podemos calcular P com a seguinte equação:
P = 2π.R
Onde π é um número real (leia-se “pi”) que vale aproximadamente 3,1416… A reticência se deve ao fato de que π possui casas decimais infinitas. Portanto, ao fazer os cálculos, é necessário arredondar seu valor.
Porém, para a maioria das aplicações, basta pegar a quantidade indicada aqui, ou usar todos os decimais que a calculadora com a qual você está trabalhando retorna..
Se, em vez de ter o raio, for preferível usar o diâmetro D, que sabemos ser o dobro do raio, o perímetro é expresso da seguinte forma:
P = π.2R = π.D
Como o perímetro é um comprimento, deve sempre ser expresso em unidades como metros, centímetros, pés, polegadas e mais, dependendo do sistema preferido..
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Freqüentemente, são termos usados alternadamente, ou seja, como sinônimos. Mas acontece que existem diferenças entre eles.
A palavra "perímetro" vem do grego "peri", que significa contorno e "metro" ou medida. A circunferência é o contorno ou perímetro do círculo. Formalmente, é definido da seguinte forma:
Um círculo é o conjunto de pontos com distância igual a um ponto denominado centro, sendo esta distância o raio da circunferência.
Por sua vez, o círculo é definido da seguinte forma:
Um círculo é o conjunto de pontos cuja distância até um ponto chamado centro é Menor ou igual a uma distância fixa chamada rádio.
O leitor pode ver a diferença sutil entre os dois conceitos. A circunferência refere-se apenas ao conjunto de pontos da borda, enquanto o círculo é o conjunto de pontos da borda para o interior, dos quais a circunferência é a borda.
Através dos exercícios seguintes, os conceitos descritos acima serão colocados em prática, bem como alguns outros que serão explicados à medida que vão surgindo. Começaremos do mais simples e o grau de dificuldade aumentará progressivamente.
Encontre o perímetro e a área do círculo com raio de 5 cm.
A equação dada no início é aplicada diretamente:
P = 2π.R= 2π.5 cm = 10 π cm = 31,416 cm
Para calcular a área PARA a seguinte fórmula é usada:
PARA = π.Rdois = π. (5cm)dois= 25π cmdois= 78,534 cmdois
a) Encontre o perímetro e a área da região em branco na figura a seguir. O centro do círculo sombreado está no ponto vermelho, enquanto o centro do círculo branco é o ponto verde.
b) Repita a seção anterior para a região sombreada.
a) O raio do círculo branco é de 3 cm, portanto aplicamos as mesmas equações do exercício 1:
P = 2π.R= 2π.3 cm = 6 π cm = 18,85 cm
PARA = π.Rdois = π. (3cm)dois= 9π cmdois= 28,27 cmdois
b) Para o círculo sombreado, o raio é de 6 cm, seu perímetro é o dobro do calculado na seção a):
P = 2π.R= 2π.6 cm = 12 π cm = 37,70 cm
E, finalmente, a área da região sombreada é calculada da seguinte forma:
- Primeiro encontramos a área do círculo sombreado como se estivesse completa, que chamaremos de A ', assim:
PARA' = π.Rdois= π. (6 cm)dois = 36π cmdois= 113,10 cmdois
- Em seguida, para a área PARA' Subtrai-se a área do círculo branco, previamente calculada na seção a), obtendo-se assim a área solicitada, que será denotada simplesmente por A:
A = A '- 28,27 cmdois = 113,10-28,27 cmdois = 84,83 cmdois
Encontre a área e o perímetro da região sombreada na seguinte figura:
Primeiro calculamos a área de setor circular ou cunha, entre os segmentos retos OA e OB e o segmento circular AB, conforme mostrado na figura a seguir:
Para isso, utiliza-se a seguinte equação, que nos dá a área de um setor circular, conhecendo o raio R e o ângulo central entre os segmentos OA e OB, ou seja, dois dos raios da circunferência:
PARA setor circular = Π.Rdois. (αº / 360º)
Onde αº é o ângulo central - é central porque seu vértice é o centro da circunferência - entre dois raios.
Assim, a área do setor mostrada na figura é:
PARA setor circular = Π.Rdois. (αº / 360º) = π. (8 cm)dois. (60º / 360º) = (64/6) π cmdois= 33,51 cmdois
Em seguida, vamos calcular a área do triângulo branco na figura 3. Este triângulo é equilátero e sua área é:
PARA triângulo = (1/2) base x altura
A altura é a linha pontilhada vermelha vista na figura 4. Para encontrá-la, você pode usar o teorema de Pitágoras, por exemplo. Mas não é a única maneira.
O leitor atento terá notado que o triângulo equilátero é dividido em dois triângulos retângulos idênticos, cuja base é de 4 cm:
Em um triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras é cumprido, portanto:
PARA triângulo = (1/2) base x altura = (1/2) 8 cm x 6,93 cm = 27,71 cmdois.
Basta subtrair a área maior (a do setor circular) da área menor (a do triângulo equilátero): A região sombreada = 33,51 cmdois - 27,71 cmdois = 5,80 cmdois.
O perímetro procurado é a soma do lado retilíneo de 8 cm e o arco de circunferência AB. Agora, a circunferência completa subtende 360º, portanto, um arco que subtende 60º é um sexto do comprimento completo, que sabemos ser 2.π.R:
AB = 2.π.R / 6 = 2.π.8 cm / 6 = 8,38 cm
Substituindo, o perímetro da região sombreada é:
P = 8 cm + 8,38 cm = 16,38 cm.
O perímetro, assim como a área, é um conceito muito importante em geometria e com muitas aplicações na vida diária..
Artistas, designers, arquitetos, engenheiros e muitas outras pessoas aproveitam o perímetro no desenvolvimento de seus trabalhos, especialmente o de um círculo, já que a forma redonda está em toda parte: da publicidade, passando pelos alimentos, às máquinas.
Para saber diretamente o comprimento de uma circunferência, basta enrolá-la com um fio ou barbante, estender esse fio e medi-lo com uma fita métrica. A outra alternativa é medir o raio ou diâmetro do círculo e usar uma das fórmulas descritas acima..
No trabalho diário, o conceito de perímetro é usado quando:
-O molde certo é escolhido para um determinado tamanho de pizza ou bolo.
-Uma estrada urbana será projetada, calculando o tamanho de um frasco onde os carros podem virar para mudar de direção.
-Sabemos que a Terra gira em torno do Sol em uma órbita aproximadamente circular - as órbitas planetárias são na verdade elípticas, de acordo com as leis de Kepler - mas a circunferência é uma boa aproximação para a maioria dos planetas..
-O tamanho apropriado de um anel é escolhido para ser comprado em uma loja online.
-Nós escolhemos uma chave do tamanho certo para afrouxar uma porca.
E muitos mais.
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