O polígonos regulares são aqueles que têm todos os lados e ângulos internos iguais. Na figura a seguir há um conjunto de diferentes polígonos, que são figuras planas limitadas por uma curva fechada e apenas aqueles que estão destacados atendem às condições de serem regulares.
Por exemplo, o triângulo equilátero é um polígono regular, pois seus três lados medem o mesmo, assim como seus ângulos internos, que valem 60º cada..
O quadrado é um quadrilátero com quatro lados de igual medida e ângulos internos de 90º. É seguido pelo pentágono regular, com cinco lados de igual tamanho e cinco ângulos internos de 108º cada..
Quando um polígono é regular, esta palavra é adicionada ao seu nome especial, então temos o hexágono regular, o heptágono regular e assim por diante.
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As propriedades mais importantes de polígonos regulares podem ser resumidas da seguinte forma:
-Os lados têm a mesma medida, portanto são equilátero.
-Eles são equiângulo, uma vez que todos os seus ângulos internos têm a mesma medida.
-Eles sempre podem ser inscritos em uma circunferência, o que significa que eles se encaixam perfeitamente dentro de uma, que é chamada circunferência circunscrita.
-Para um polígono regular com n lados, a medida de um ângulo interno α é:
α = [180 (n-2)] / n
-Você pode desenhar n (n-3) / 2 diagonais a partir dos vértices de um polígono, seja regular ou não.
-A soma do ângulos exteriores é igual a 360º.
A seguir apresentamos os principais elementos de um polígono regular, visualizados na figura abaixo.
Ponto comum que dois lados consecutivos têm, denotado como V na figura.
É o segmento que une dois vértices consecutivos do polígono e é denotado como ℓ ou L.
Segmento que une dois vértices não consecutivos do polígono, na figura é denotado como d.
É o centro comum do círculo inscrito e do círculo circunscrito, denotado pela letra O. Também pode ser visto como o único ponto equidistante de ambos os vértices e os pontos médios de cada lado..
É o radio r do círculo circunscrito e coincide com a distância entre O e um vértice.
Se denomina apótema ao raio da circunferência inscrito no polígono, representado na figura por uma letra para. O apótema é perpendicular a um lado e o une ao centro O (segmento vermelho na figura 3).
Conhecendo o raio re o comprimento do lado, o apótema é calculado por:
Visto que, na verdade, o apotema é uma das pernas de um triângulo retângulo (ver figura 3), a outra perna sendo o valor de ℓ / 2 (metade de um lado) e a hipotenusa o raio r do polígono.
Quando o teorema de Pitágoras é aplicado ao referido triângulo, obtém-se esta equação, que é válida não só para o hexágono, mas para qualquer polígono regular..
É o ângulo cujo vértice coincide com o centro O e cujos lados são os segmentos que unem o centro com dois vértices consecutivos. Sua medida em graus sexagesimais é 360º / n, onde n é o número de lados do polígono.
É a diferença entre o raio do polígono e o apótema (ver figura 3). Denotando a sagitta como S:
S = r - a
É facilmente calculado adicionando os comprimentos dos lados. Uma vez que qualquer lado tem comprimento igual L e há n lados, o perímetro P é expresso como:
P = n.L
Em um polígono regular, a área A é dada pelo produto entre o semiperímetro (metade do perímetro) e o comprimento do apótema para.
A = P.a / 2
Como o perímetro depende do número de lados n, verifica-se que:
A = (nL) .a / 2
Dois polígonos regulares podem ter o mesmo perímetro, mesmo que não tenham o mesmo número de lados, pois isso dependeria do comprimento dos lados.
No livro V dele Coleção, o matemático Pappus de Alexandria (290-350), o último dos grandes matemáticos da Grécia Antiga, mostrou que entre todos os polígonos regulares com o mesmo perímetro, aquele com a maior área é aquele com o maior número de lados.
A Figura 4 mostra os ângulos relevantes em um polígono regular, denotados pelas letras gregas α, β e γ.
Anteriormente mencionamos o ângulo central, entre os elementos do polígono regular, é o ângulo cujo vértice está no centro do polígono e os lados são os segmentos que unem o centro com dois vértices consecutivos.
Para calcular a medida do ângulo central α, divida 360º por n, o número de lados. Ou 2π radianos entre n:
α = 360º / n
Equivalente em radianos a:
α = 2π / n
Na figura 4 o ângulo interno β é aquele cujo vértice coincide com um da figura e seus lados são lados da figura também. É calculado em graus sexagesimais por:
β = [180 (n-2)] / n
Ou em radianos usando:
β = [π (n-2)] / n
Eles são denotados pela letra grega γ. A figura mostra que γ + β = 180º. Portanto:
γ = 180º - β
A soma de todos os ângulos externos para um polígono regular é 360º.
Em seguida, temos os primeiros 8 polígonos regulares. Observamos que à medida que o número de lados aumenta, o polígono cada vez mais se assemelha à circunferência em que estão inscritos..
Podemos imaginar que, tornando o comprimento dos lados cada vez menores, e aumentando o número deles, obtemos a circunferência.
Polígonos regulares são encontrados em todos os lugares da vida cotidiana e até mesmo na natureza. Vejamos alguns exemplos:
Polígonos regulares, como triângulos equiláteros, quadrados e losangos são abundantes na sinalização que vemos em rodovias e estradas. Na figura 6, vemos um sinal de pare com uma forma octogonal.
Inúmeros móveis têm o quadrado, por exemplo, como sua figura geométrica característica, assim como muitas mesas, cadeiras e bancos são quadrados. Um paralelepípedo é geralmente uma caixa com lados em forma de retângulo (que não é um polígono regular), mas também pode ser quadrada..
Os ladrilhos nos pisos e nas paredes, tanto nas casas quanto nas ruas, costumam ter a forma de polígonos regulares..
Pavimentações são superfícies totalmente cobertas por ladrilhos de diferentes formas geométricas. Com o triângulo, o quadrado e o hexágono você pode fazer tesselações regulares, aquelas que usam apenas um único tipo de figura para cobrir perfeitamente, sem deixar espaços vazios (ver figura 6).
Da mesma forma, os edifícios fazem uso de polígonos regulares em elementos como janelas e decoração..
Surpreendentemente, o hexágono regular é um polígono que aparece com frequência na natureza..
Os favos feitos pelas abelhas para armazenar mel têm a forma muito próxima de um hexágono regular. Como observou Pappus de Alexandria, dessa forma as abelhas otimizam o espaço para armazenar o máximo de mel possível..
E também há hexágonos regulares na carapaça das tartarugas e dos flocos de neve, que também adotam várias formas geométricas muito bonitas..
Um hexágono regular está inscrito em um semicírculo de raio de 6 cm, como mostrado na figura. Qual é o valor da área sombreada?
A área sombreada é a diferença entre a área do semicírculo com raio R = 6 cm e a área de todo o hexágono, um polígono regular de 6 lados. Então, vamos precisar de fórmulas para a área de cada uma dessas figuras.
PARA1 = π Rdois / 2 = π (6 cm)dois / 2 = 18π cmdois
A fórmula para calcular a área de um polígono regular é:
A = P.a / 2
Onde P é o perímetro e para é o apótema. Como o perímetro é a soma dos lados, precisaremos do valor deles. Para o hexágono regular:
P = 6ℓ
Portanto:
A = 6ℓa / 2
Para encontrar o valor do lado ℓ é necessário construir figuras auxiliares, que explicaremos a seguir:
Vamos começar com o pequeno triângulo direito à esquerda, cuja hipotenusa é ℓ. Um ângulo interno do hexágono é igual a:
α = [180 (n-2)] / n = α = [180 (6-2)] / 6 = 120º
O raio que desenhamos em verde corta este ângulo ao meio, portanto o ângulo agudo do pequeno triângulo é 60º. Com as informações fornecidas, este triângulo é resolvido, encontrando o lado azul claro, que mede o mesmo que o apótema:
Perna oposta = a = ℓ x sen 60º = ℓ√3 / 2 cm
Este valor é o duplo da perna azul escura do grande triângulo à direita, mas a partir desse triângulo sabemos que a hipotenusa mede 6 cm porque é o raio do semicírculo. A perna restante (inferior) é igual a ℓ / 2, uma vez que o ponto O está no meio do lado.
Uma vez que os ângulos internos deste triângulo não são conhecidos, podemos afirmar o teorema de Pitágoras para ele:
36 = 3 ℓdois + ℓdois / 4
(13/4) ℓdois = 36 → ℓ = √ (4 x 36) / 13 cm = 12 / √13 cm
Com este valor calcula-se o apótema:
a = ℓ√3 / 2 cm = (12 / √13) x (√3 / 2) cm = 6√3 / √13 cm
Vamos ligardois para a área do hexágono regular:
= 28,8 cmdois
PARA1 - PARAdois = 18π cmdois - 28,8 cmdois = 27,7 cmdois
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