O Princípio de Arquimedes diz que um corpo totalmente ou parcialmente submerso recebe uma força vertical para cima chamada Empurre, que é igual ao peso do volume de fluido deslocado pelo corpo.
Alguns objetos flutuam na água, alguns afundam e alguns submergem parcialmente. Para afundar uma bola de praia é necessário fazer um esforço, pois imediatamente se percebe aquela força que tenta devolvê-la à superfície. Em vez disso, uma esfera de metal afunda rapidamente.
Por outro lado, objetos submersos parecem mais leves, pois há uma força exercida pelo fluido que se opõe ao peso. Mas nem sempre pode compensar totalmente a gravidade. E, embora seja mais evidente com a água, os gases também são capazes de produzir essa força em objetos imersos neles..
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Arquimedes de Siracusa (287-212 aC) foi quem deve ter descoberto esse princípio, sendo um dos maiores cientistas da história. Dizem que o rei Hieron II de Siracusa ordenou a um ourives que lhe fizesse uma nova coroa, pela qual lhe deu uma certa quantidade de ouro..
Quando o rei recebeu a nova coroa, tinha o peso correto, mas ele suspeitou que o ourives o havia enganado ao adicionar prata em vez de ouro. Como eu poderia verificar sem destruir a coroa?
Hieron chamou Arquimedes, cuja fama de estudioso era bem conhecida, para ajudá-lo a resolver o problema. Diz a lenda que Arquimedes estava submerso na banheira quando encontrou a resposta e, tal era a sua emoção, que correu nu pelas ruas de Siracusa à procura do rei gritando "eureka", que significa "encontrei-o".
O que Arquimedes encontrou? Pois bem, ao tomar banho, o nível da água na banheira subia quando ele entrava, o que significa que um corpo submerso desloca um determinado volume de líquido..
E se a coroa fosse submersa na água, também deveria deslocar um certo volume de água se a coroa fosse de ouro e outro diferente se fosse feita de liga de prata..
A força de levantamento referida pelo princípio de Arquimedes é conhecida como Empurre hidrostático ou força de empuxo e, como já dissemos, é igual ao peso do volume de fluido deslocado pelo corpo quando submerso.
O volume deslocado é igual ao volume do objeto que está submerso, total ou parcialmente. Já que o peso de qualquer coisa é mg, e a massa do fluido é densidade x volume, denotando como B a magnitude do impulso, matematicamente temos:
B = mfluido x g = densidade do fluido x volume submerso x gravidade
B = ρfluido x Vsubmerso x g
Onde a letra grega ρ ("rho") denota a densidade.
O peso dos objetos é calculado usando a expressão bem conhecida mg, no entanto, as coisas parecem mais leves quando submersas na água.
O peso aparente de um objeto é aquele que ele possui quando é imerso em água ou outro líquido e sabendo disso, você pode obter o volume de um objeto irregular como a coroa do Rei Hieron, como será visto a seguir.
Para fazer isso, ele é completamente submerso na água e preso a uma corda presa a um dinamômetro -um instrumento equipado com uma mola usada para medir forças. Quanto maior o peso do objeto, maior o alongamento da mola, que é medido em uma escala fornecida no aparelho..
Aplicando a segunda lei de Newton sabendo que o objeto está em repouso:
ΣFY = B + T - W = 0
O peso aparente Wpara é igual à tensão na corda T:
T = Wpara
Cpara = mg - ρfluido . V. g
Se o volume submerso V for necessário, é resolvido como:
V = (W - Wpara ) / ρfluido . g
Quando um corpo está submerso, o impulso é a força resultante de todas as forças que são exercidas sobre o corpo através da pressão causada pelo fluido que o rodeia:
Como a pressão aumenta com a profundidade, a resultante dessas forças é sempre dirigida verticalmente para cima. Portanto, o princípio de Arquimedes é uma consequência do teorema fundamental da hidrostática, que relaciona a pressão P exercida por um fluido com a profundidade. z O que:
P = ρ.g.z
Para demonstrar o princípio de Arquimedes, pegue uma pequena porção cilíndrica de fluido em repouso para analisar as forças exercidas sobre ele, conforme mostrado na figura a seguir. As forças na superfície curva do cilindro se cancelam.
As magnitudes das forças verticais são F1 = P1.Para e Fdois = P2.A, também tem o peso C. Uma vez que o fluido está em equilíbrio, a soma das forças deve se cancelar:
∑FY = Pdois.A- P1.A- W = 0
Pdois.A- P1.A = W
Uma vez que o empuxo compensa o peso, uma vez que a porção de fluido está em repouso, então:
B = Pdois.A- P1.A = W
Desta expressão segue-se que o empuxo é devido à diferença de pressão entre a face superior do cilindro e a face inferior. o que W = mg = ρfluido. V. g, se tem que:
B = ρfluido. Vsubmerso. g
Que é precisamente a expressão para o impulso mencionado na seção anterior.
O princípio de Arquimedes aparece em muitas aplicações práticas, entre as quais podemos citar:
- O balão aerostático. Que, devido à sua densidade média menor que a do ar circundante, flutua nele devido à força de empuxo.
- Os barcos. O casco dos navios é mais pesado que a água. Mas se for considerado todo o casco mais o ar de seu interior, a relação entre a massa total e o volume é menor que a da água e por isso os navios flutuam..
- Coletes salva-vidas. Por serem construídos com materiais leves e porosos, eles podem flutuar porque a relação massa-volume é menor do que a da água..
- A bóia para fechar a torneira de enchimento de um tanque de água. É uma esfera cheia de ar de grande volume que flutua na água, o que faz com que a força de empuxo - multiplicada pelo efeito de alavanca - feche a tampa da torneira de enchimento de uma caixa d'água quando esta atingir o nível..
Diz a lenda que o rei Hiero deu ao ourives uma certa quantidade de ouro para fazer uma coroa, mas o monarca desconfiado pensou que o ourives pode ter trapaceado ao colocar um metal menos valioso do que o ouro dentro da coroa. Mas como ele poderia saber sem destruir a coroa?
O rei confiou o problema a Arquimedes e este, buscando a solução, descobriu seu famoso princípio.
Suponha que a corona pese 2,10 kg-f no ar e 1,95 kg-f quando completamente submersa na água. Neste caso, existe ou não engano?
O diagrama das forças é mostrado na figura acima. Essas forças são: peso P da coroa, o impulso E e a tensão T da corda pendurada na balança.
Sabe-se que P = 2,10 kg-f e T = 1,95 kg-f, a magnitude do empuxo ainda precisa ser determinada E:
T + E = P ⇒ E = P - T = (2,10 - 1,95) kg-f = 0,15 kg-f
Por outro lado, segundo o princípio de Arquimedes, o empuxo E equivale ao peso da água deslocada do espaço ocupado pela coroa, ou seja, a densidade da água vezes o volume da coroa devido à aceleração da gravidade:
E = ρÁgua⋅V⋅g = 1000 kg / m ^ 3 ⋅ V ⋅ 9,8m / s ^ 2 = 0,15 kg ⋅ 9,8 m / s ^ 2
De onde o volume da coroa pode ser calculado:
V = 0,15 kg / 1000 kg / m ^ 3 = 0,00015 m ^ 3
A densidade da coroa é o quociente entre a massa da coroa fora da água e seu volume:
Densidade da coroa = 2,10 kg / 0,00015 m ^ 3 = 14000 kg / m ^ 3
A densidade do ouro puro pode ser determinada por um procedimento semelhante e o resultado é 19300 kg / m ^ 3.
Comparando as duas densidades fica evidente que a coroa não é ouro puro!!
Com base nos dados e no resultado do exemplo 1, é possível determinar quanto ouro foi roubado pelo ourives caso parte do ouro tenha sido substituído por prata, que possui densidade de 10.500 kg / m ^ 3.
Chamaremos a densidade da coroa de ρc, ρo a densidade do ouro e ρp para a densidade da prata.
A massa total da coroa é:
M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρp⋅Vp
O volume total da coroa é o volume da prata mais o volume do ouro:
V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo
Substituindo na equação pela massa, obtemos:
ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρp⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρp) Vo = (ρc - ρp) V
Ou seja, o volume de ouro Vo que contém a coroa do volume total V é:
Vo = V⋅ (ρc - ρp) / (ρo - ρp) = ...
… = 0,00015 m ^ 3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0,00005966 m ^ 3
Para descobrir o peso em ouro que a coroa contém, multiplicamos Vo pela densidade do ouro:
Mo = 19300 * 0,00005966 = 1,1514 kg
Como a massa da coroa é de 2,10 kg, sabemos que 0,94858 kg de ouro foi roubado pelo ourives e substituído por prata.
Um enorme balão de hélio é capaz de manter uma pessoa em equilíbrio (sem subir ou descer).
Suponha que o peso da pessoa, mais a cesta, as cordas e o balão sejam 70 kg. Qual é o volume de hélio necessário para que isso ocorra? Qual deve ser o tamanho do balão?
Vamos supor que o empuxo é produzido principalmente pelo volume do hélio e que o empuxo do resto dos componentes é muito pequeno se comparado ao do hélio, que ocupa muito mais volume..
Nesse caso, será necessário um volume de hélio capaz de fornecer um empuxo de 70 kg + o peso do hélio..
O empuxo é o produto do volume de hélio pela densidade do hélio e pela aceleração da gravidade. Esse impulso deve compensar o peso do hélio mais o peso de todo o resto..
Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g
a partir do qual se conclui que V = M / (Da - Dh)
V = 70 kg / (1,25 - 0,18) kg / m ^ 3 = 65,4 m ^ 3
Ou seja, 65,4 m ^ 3 de hélio são necessários à pressão atmosférica para que haja elevação.
Se assumirmos um globo esférico, podemos encontrar seu raio a partir da relação entre o volume e o raio de uma esfera:
V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3
De onde R = 2,49 m. Ou seja, será necessário um balão de 5 m de diâmetro cheio de hélio..
Materiais com densidade inferior à da água flutuam nele. Suponha que você tenha poliestireno (cortiça branca), madeira e cubos de gelo. Suas densidades em kg por metro cúbico são respectivamente: 20, 450 e 915.
Descubra que fração do volume total está fora da água e a que altura ela se destaca da superfície da água, tomando 1000 quilogramas por metro cúbico como a densidade deste último..
A flutuabilidade ocorre quando o peso do corpo é igual ao impulso devido à água:
E = M⋅g
Peso é a densidade do corpo Dc multiplicada pelo seu volume V e pela aceleração da gravidade g.
O empuxo é o peso do fluido deslocado de acordo com o princípio de Arquimedes e é calculado multiplicando a densidade D da água pelo volume submerso V 'e pela aceleração da gravidade.
Quer dizer que:
D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g
O que significa que a fração de volume submerso é igual ao quociente entre a densidade do corpo e a densidade da água.
(V '/ V) = (Dc / D)
Em outras palavras, a fração de volume pendente (V "/ V) é
(V "/ V) = 1 - (Dc / D)
sim h é a altura excelente e eu do lado do cubo, a fração de volume pode ser escrita como
(h⋅L ^ 2) / (L ^ 3) = h / L, ou seja, a fração de altura pendente também é
(h / L) = 1 - (Dc / D)
Portanto, os resultados para os materiais solicitados são:
Poliestireno (cortiça branca):
(h / L) = (V "/ V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% fora da água
Madeira:
(h / L) = (V "/ V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% fora da água
Gelo:
(h / L) = (V "/ V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8,5% fora da água
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