O propriedade associativa da soma representa o caráter associativo da operação de soma em vários conjuntos matemáticos. Nele, três (ou mais) elementos desses conjuntos estão relacionados, chamados a, b e c, de forma que seja sempre verdadeiro:
a + (b + c) = (a + b) + c
Desta forma fica garantido que, independente da forma de agrupamento para realização da operação, o resultado é o mesmo.
Mas deve-se notar que a propriedade associativa não é sinônimo de propriedade comutativa. Ou seja, sabemos que a ordem dos adendos não altera a soma ou que a ordem dos fatores não altera o produto. Portanto, a soma pode ser escrita assim: a + b = b + a.
Porém, na propriedade associativa é diferente, pois a ordem dos elementos a serem adicionados é mantida e o que muda é a operação que se executa primeiro. O que significa que não importa adicionar primeiro (b + c) e a este resultado adicionar a, do que começar a adicionar a com b e ao resultado adicionar c.
Muitas operações importantes, como adição, são associativas, mas não todas. Por exemplo, na subtração de números reais acontece que:
a - (b - c) ≠ (a - b) - c
Se a = 2, b = 3, c = 1, então:
2- (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1
0 ≠ -2
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Como foi feito para a adição, a propriedade associativa da multiplicação afirma que:
a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c
No caso do conjunto de números reais, é fácil verificar que sempre é assim. Por exemplo, usando os valores a = 2, b = 3, c = 1, temos:
dois ˟ (3 ˟ 1) = (2 ˟ 3) ˟ 1 → 2 ˟ 3 = 6 ˟ 1
6 = 6
Os números reais cumprem a propriedade associativa de adição e multiplicação. Por outro lado, em outro conjunto, como o de vetores, a soma é associativa, mas o produto vetorial ou produto vetorial não..
Uma vantagem das operações em que a propriedade associativa é cumprida é poder agrupar da maneira mais conveniente. Isso torna a resolução muito mais fácil..
Por exemplo, suponha que em uma pequena biblioteca haja 3 estantes com 5 estantes cada. Em cada estante existem 8 livros. Quantos livros existem no total?
Podemos realizar a operação assim: total de livros = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 livros.
Ou assim: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 livros.
-Nos conjuntos de números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, as propriedades associativas de adição e multiplicação são cumpridas.
-Para polinômios também se aplicam a essas operações.
-Nos casos de operações de subtração, divisão e exponenciação, a propriedade associativa não se cumpre nem em números reais nem em polinômios..
-No caso de matrizes, a propriedade associativa vale para adição e multiplicação, embora, no último caso, a comutatividade não seja satisfeita. Isso significa que, dadas as matrizes A, B e C, é verdade que:
(A x B) x C = A x (B x C)
Mas ... A x B ≠ B x A
Os vetores formam um conjunto diferente dos números reais ou complexos. As operações definidas para o conjunto de vetores são um pouco diferentes: há adição, subtração e três tipos de produtos.
A soma dos vetores cumpre a propriedade associativa, assim como os números, polinômios e matrizes. Quanto aos produtos escalares, escalar por vetor e cruzamento que se fazem entre vetores, este último não o cumpre, mas o produto escalar, que é outro tipo de operação entre vetores, o cumpre, levando em consideração o seguinte:
-O produto de um escalar e um vetor resulta em um vetor.
-E ao multiplicar escalarmente dois vetores, um escalar resulta.
Portanto, dados os vetores v, ou Y C, e adicionalmente um escalar λ, é possível escrever:
-Soma dos vetores: v +(ou + C ) = (v + ou) + C
-Produto escalar: λ (v • ou ) = (λv) • ou
Este último é possível graças a v • ou resulta em um escalar e λv é um vetor.
Porém:
v × (ou × C ) ≠ (v × ou)×C
Esta aplicação é muito interessante, pois como já foi dito, a propriedade associativa ajuda a resolver alguns problemas. A soma dos monômios é associativa e pode ser usada para fatorar quando um fator comum óbvio não aparece à primeira vista.
Por exemplo, suponha que você peça para fatorar: x3 + doisxdois + 3x +6. Este polinômio não tem fator comum, mas vamos ver o que acontece se ele for agrupado assim:
x3 + 2xdois + 3x +6 = (x3 + 2xdois) + (3x +6)
O primeiro parêntese tem como fator comum xdois:
x3 + doisxdois = xdois (x + 2)
No segundo, o fator comum é 3:
3x +6 = 3 (x + 2)
Então:
x3 + doisxdois + 3x +6 = xdois(x + 2) + 3 (x + 2)
Agora, há um fator comum óbvio, que é x + 2:
xdois(x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (xdois+3)
O prédio da escola tem 4 andares e cada um tem 12 salas de aula com 30 carteiras internas. Quantas carteiras a escola tem no total?
Este problema é resolvido aplicando a propriedade associativa da multiplicação, vejamos:
Número total de carteiras = 4 andares x 12 salas de aula / andar x 30 carteiras / sala de aula = (4 x 12) x 30 carteiras = 48 x 30 = 1440 carteiras.
Ou se preferir: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 mesas
Dados os polinômios:
A (x) = 5x3 + 2xdois -7x + 1
B (x) = x4 +6x3 -5x
C (x) = -8xdois +3x -7
Aplique a propriedade associativa de adição para encontrar A (x) + B (x) + C (x).
Você pode agrupar os dois primeiros e adicionar o terceiro ao resultado:
A (x) + B (x) = [5x3 + 2xdois -7x + 1] + [x4 +6x3 -5x] = x4 + 11x3+ 2xdois -12x +1
Imediatamente, o polinômio C (x) é adicionado:
[x4 + 11x3+ 2xdois -12x +1] + [-8xdois +3x -7] = x4 + 11x3 - 6xdois -9x -6
O leitor pode verificar que o resultado é idêntico se for resolvido por meio da opção A (x) + [B (x) + C (x)].
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