As razões trigonométricas são os quocientes ou relações que podem ser feitas com o valor dos lados de um triângulo retângulo. Esses lados são: duas pernas que se formam 90º uma com a outra e a hipotenusa, que forma o ângulo agudo θ com uma das pernas.
Você pode formar 6 quocientes. Seus nomes e respectivas abreviaturas são:
Todos eles referiram-se ao ângulo θ, conforme mostrado na figura a seguir:
As razões trigonométricas básicas do ângulo θ são sin θ, cos θ e tan θ, enquanto as razões restantes podem ser expressas em termos destes três. Na tabela acima, pode-se ver que:
O tamanho dos lados do triângulo não influencia o valor das razões, pois dois triângulos cujos ângulos medem o mesmo são triângulos semelhantes e as respectivas relações entre os lados têm o mesmo valor.
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Por exemplo, vamos calcular as razões trigonométricas do ângulo θ nos seguintes triângulos:
Para o triângulo pequeno, temos as três razões básicas do ângulo θ:
sin θ = 3/5
cos θ = 4/5
tg θ = ¾
E agora vamos calcular as três razões básicas de θ com o grande triângulo:
sin θ = 30/50 = 3/5
cos θ = 40/50 = 4/5
tg θ = 30/40 = ¾
Um detalhe importante a se levar em consideração é o seguinte: ambos sen θ e cos θ são menores que 1, pois as pernas sempre medem menos que a hipotenusa. Em efeito:
sin θ = 3/5 = 0,6
cos θ = 4/5 = 0,8
Nos exercícios seguintes, você deverá resolver o triângulo retângulo, o que significa encontrar o comprimento de seus três lados e a medida de seus ângulos internos, um dos quais sempre mede 90º.
O teorema de Pitágoras se aplica a triângulos retângulos e é muito útil quando dois dos lados são conhecidos e o lado ausente precisa ser determinado. O teorema é assim:
Hipotenusadois = perna opostadois + perna adjacentedois
Podemos verificar o teorema de Pitágoras com o pequeno triângulo da Figura 2, cujas pernas são 3 e 4. A ordem em que as pernas são tiradas não importa. Aplicando o teorema, temos:
Hipotenusadois = 3dois + 4dois = 9 + 16 = 25
Portanto, a hipotenusa é:
Hipotenusa = √25 = 5
Calcule as razões trigonométricas dos ângulos mostrados nos seguintes triângulos:
Este triângulo é o mesmo da figura 3, mas somos solicitados a fornecer as razões trigonométricas do outro ângulo agudo, denotado por α. O enunciado não oferece o valor da hipotenusa, porém, aplicando o teorema de Pitágoras sabemos que vale 5.
As relações podem ser calculadas diretamente a partir da definição, tomando cuidado ao selecionar a perna que está o oposto do ângulo α para calcular o pecado α. Vamos ver:
E, como podemos ver, os valores das razões trigonométricas foram trocados. Na verdade, α e θ são ângulos complementares, o que significa que somam 90º. Neste caso, é verdade que sin α = cos θ e assim por diante pelas outras razões.
Vamos calcular a hipotenusa do triângulo usando o teorema de Pitágoras:
Hipotenusadois = 20dois + vinte e umdois = 841
√841 = 29
Então, as 6 razões trigonométricas do ângulo β são:
a) Encontre o valor de x na figura.
b) Calcule o perímetro dos 3 triângulos mostrados.
Na figura podemos identificar vários triângulos, em particular o triângulo retângulo à esquerda, que possui uma perna igual a 85 e o ângulo agudo 60º.
Com as informações desse triângulo, podemos calcular o lado b. Não é a medida solicitada pelo comunicado, mas saber seu valor é um passo prévio.
Para determinar isso, a razão apropriada é tg 60º = 85 / b, visto que b é a perna adjacente a 60º e 85 é o oposto desse ângulo. Portanto:
b = 85 / tg 60º = 85 / √3
Uma vez que b é conhecido, usaremos o triângulo retângulo grande e externo, que tem um lado comum com o triângulo anterior: aquele que mede 85. Esta é a perna oposta ao ângulo de 30º..
De Ali:
Perna adjacente a 30º = (85 / √3) + x
Agora podemos propor o seguinte:
85 / [(85 / √3) + x] = tg 30º
O que está entre parênteses acontece para multiplicar o tg 30º:
85 = [(85 / √3) + x]. tg 30º
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:
85 = tg 30 °. (85 / √3) + x. tg 30º
Portanto:
x.tg 30º = 85 - tg 30º. (85 / √3) = 85 [1 - tg 30º. (1 / √3)] = 85. (2/3) = 170/3
Substituindo o valor tg 30º = √3 / 3:
x = (170/3) ÷ (√3 / 3) = 98,15
Deixe h1 a hipotenusa desse triângulo, que pode ser calculada pelo teorema de Pitágoras ou por meio de uma razão trigonométrica, por exemplo, cos 60º:
cos 60 º = 85 / √3 / h1→ h1 = (85 / √3) ÷ cos 60º = 98,1
Para encontrar P, o perímetro deste triângulo, simplesmente adicionamos os 3 lados:
P = 85 + (85 / √3) + 98,1 = 232,2
Deixe hdois para a hipotenusa do triângulo externo:
sin 30º = 85 ÷ hdois
hdois = 85 ÷ sen 30º = 170
Para este triângulo, o perímetro é:
P = 85 + [(85 / √3) + 98,15] + 170 = 402,22
Já conhecemos todos os lados deste triângulo:
P = x + h1 + hdois = 98,15 + 98,15 + 170 = 366,3
As razões trigonométricas têm inúmeras aplicações práticas, por exemplo, alturas podem ser calculadas.
Suponha que uma torre de água esteja a 100 metros de um edifício. Um observador em uma janela nota que o ângulo de elevação da extremidade superior da torre é de 39º, enquanto o ângulo de depressão com que a base da torre é vista é de 25º. Ele pergunta:
a) Qual é a altura da torre?
b) Qual é a altura da janela?
Da perna oposta a 39º do triângulo superior, obtemos uma parte da resposta:
h1/ 325 = tg 39º → h1 = 325. tg 39º pés = 263,2 pés
De forma semelhante, obtemos o restante da altura da torre, chamada hdois começando do triângulo inferior:
hdois/ 325 = tg 25º → hdois = 325. tg 25º pés = 151,6 pés
A altura total da torre é h1 + hdois = 263,2 + 151,6 pés = 414,7 pés.
A janela está precisamente a uma altura hdois do solo:
hdois = 151,6 pés.
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