Dois pontos A e A 'têm simetria central com respeito a um ponto O quando o segmento AA 'passa por ele e é também o ponto médio de AA'. O ponto O é chamado centro de simetria.
A simétrica central de um triângulo ABC em relação a um ponto O, é outro triângulo A'B'C 'que possui as seguintes características:
-Os segmentos homólogos são de igual comprimento
-Seus ângulos correspondentes têm a mesma medida.
Na figura 1 você pode ver um triângulo ABC (vermelho) e sua simetria central A'B'C '(verde), em relação ao centro de simetria O.
Nesta mesma figura, um observador atento perceberia que o mesmo resultado é obtido aplicando-se uma rotação do triângulo original, desde que esteja 180º e centralizado em O.
Portanto, uma simetria central é equivalente a uma volta de 180º em relação ao centro de simetria.
Índice do artigo
Uma simetria central tem as seguintes propriedades:
-O centro de simetria é o ponto médio do segmento que une um ponto com sua simetria.
-Um ponto simétrico de outro que está localizado no centro de simetria, coincide com o centro de simetria.
-A simétrica central de um triângulo é um triângulo congruente (igual) ao original.
-A imagem por simetria central de um círculo é outro círculo de raio igual.
-Um círculo tem simetria central em relação ao seu próprio centro.
-A elipse tem simetria central em relação ao seu centro.
-Um segmento tem simetria central em torno de seu ponto médio.
-O triângulo equilátero não tem simetria central em relação ao seu centro, pois sua simetria, embora congruente com a primeira, dá um triângulo equilátero girado.
-Os quadrados têm simetria central em relação ao seu centro.
-Um pentágono carece de simetria central em relação ao seu centro.
-Polígonos regulares têm simetria central quando têm um número par de lados.
Os critérios de simetria têm muitas aplicações em ciência e engenharia. A simetria central está presente na natureza, por exemplo, cristais de gelo e teias de aranha têm esse tipo de simetria.
Além disso, muitos problemas são facilmente resolvidos quando se aproveita a existência de simetria central e outros tipos de simetria. Portanto, é conveniente identificar rapidamente quando isso ocorre.
Dado um ponto P de coordenadas (a, b), devemos encontrar as coordenadas de seu P 'simétrico em relação à origem O de coordenadas (0, 0).
A primeira coisa é construir o ponto P ', para o qual se traça uma linha que passa pela origem O e pelo ponto P. A equação dessa linha é y = (b / a) x.
Agora vamos chamar (a ', b') as coordenadas do ponto simétrico P '. O ponto P 'deve estar na reta que passa por O e, portanto, é verdadeiro: b' = (b / a) a '. Além disso, a distância OP deve ser igual a OP ', que na forma analítica é escrita assim:
√ (paradois + bdois) = √ (a 'dois + b 'dois )
O seguinte é substituir b '= [(b / a) .a'] na expressão acima e elevar ao quadrado ambos os lados da igualdade para eliminar a raiz quadrada: (adois + bdois) = [a 'dois + (bdois/paradois).para'dois]
Ao extrair o fator comum e simplificar, obtemos que um 'dois = adois. Esta equação tem duas soluções reais: a '= + a ou a' = -a.
Para obter b ', usamos novamente b' = (b / a) a '. Se a solução positiva de a 'for substituída, chegamos a que b' = b. E quando a solução negativa é substituída, então b '= -b.
A solução positiva dá para P 'o mesmo ponto P, então ele é descartado. A solução negativa definitivamente fornece as coordenadas do ponto simétrico:
P ': (-a, -b)
É necessário mostrar que um segmento AB e seu A'B 'simétrico central têm o mesmo comprimento.
Começando com as coordenadas do ponto A, que são (Ax, Ay) e as do ponto B: (Bx, By), o comprimento do segmento AB é dado por:
d (AB) = √ ((Bx - Ax)dois + (Por - Ay)dois )
Por analogia, o segmento simétrico A'B 'terá comprimento dado por:
d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ')dois + (Por '- Ay')dois )
As coordenadas do ponto simétrico A 'são Ax' = -Ax e Ay '= -Ay. Da mesma forma, aqueles de B 'são Bx' = -Bx e Por '= -By. Se essas coordenadas forem substituídas na equação da distância d (A'B ') temos:
d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax)dois + (-Por + Ay)dois) que é equivalente a:
√ ((Bx - Ax)dois + (Por - Ay)dois) = d (AB)
Assim sendo mostrado que ambos os segmentos têm o mesmo comprimento.
Mostre analiticamente que o O simétrico central de um círculo de raio R e centro O é o mesmo círculo original.
A equação de um círculo com raio R e centro O (0,0) é:
xdois + Ydois = Rdois (Equação da circunferência C)
Se em cada ponto P da circunferência y de coordenadas (x, y) seu simétrico P 'de coordenadas (x', y ') for encontrado, a equação da circunferência simétrica é:
x 'dois + Y 'dois = Rdois (Equação do círculo simétrico C ')
Agora nos referimos ao resultado do exemplo 1, no qual se conclui que as coordenadas de um ponto P ', simétricas a P e com coordenadas (a, b), são (-a, -b).
Mas, neste exercício, o ponto P tem coordenadas (x, y), então seu P 'simétrico terá coordenadas x' = -x e y '= -y. Substituindo isso na equação do círculo simétrico, temos:
(-x)dois + (-Y)dois = Rdois
O que é equivalente a: xdois+ Ydois = Rdois, concluindo que a simétrica central de um círculo em relação ao seu centro é a própria circunferência.
Mostre geometricamente que a simetria central preserva os ângulos.
Existem três pontos A, B e C no avião. Suas simétricas A ', B' e C 'são construídas em relação ao centro de simetria O, conforme mostrado na figura 4.
Agora temos que mostrar que o ângulo ∡ABC = β tem a mesma medida que o ângulo ∡A'B'C '= β'.
Como C e C 'são simétricos, OC = OC'. Da mesma forma, OB = OB 'e OA = OA'. Por outro lado, o ângulo ∡BOC = ∡B'OC 'porque eles são opostos pelo vértice.
Então, os triângulos BOC e B'OC 'são congruentes porque têm um ângulo igual entre dois lados iguais.
Uma vez que BOC é congruente com B'OC ', então os ângulos γ Y γ ' são iguais. Mas esses ângulos, além de cumprirem γ = γ ' são alternativas internas entre as linhas BC e B'C ', o que implica que a linha BC é paralela a B'C'.
Da mesma forma, BOA é congruente com B'OA ', do qual segue-se que α = α ' . Mas α Y α ' são ângulos interiores alternados entre as linhas BA e B'A ', dos quais se conclui que a linha BA é paralela a B'A'.
Como o ângulo ∡ABC = β tem seus lados paralelos ao ângulo ∡A'B'C '= β' e ambos são agudos, conclui-se que:
∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'
Provando desta forma, que a simetria central conserva a medida dos ângulos.
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