O sistemas de avaliação Eles consistem em duas ou mais equações com várias variáveis que devem ter uma solução comum. São frequentes, pois na prática são inúmeras as situações que dependem de muitos fatores, que se relacionam de várias formas..
Em geral, um sistema de equações tem a seguinte forma, onde cada função representa uma das condições que a solução deve satisfazer:
Vejamos um exemplo: suponha que você precise fazer folhas retangulares de papel com área de 180 cmdois e que têm um perímetro de 54 cm. Quais devem ser as dimensões da folha?
Para responder à pergunta, levamos em consideração que as dimensões de uma folha retangular são duas: largura e altura. Isso significa que temos 2 variáveis às quais daremos os nomes usuais de x e Y.
E essas variáveis devem satisfazer as duas condições impostas ao mesmo tempo:
-Primeira condição: a área da folha é de 180 cmdois. Esta será a primeira função: F1.
-Segunda condição: o perímetro ou contorno da folha deve ser de 54 cm. Esta é a segunda função Fdois.
Para cada condição, uma equação é estabelecida usando linguagem algébrica. A área A de uma folha retangular é obtida multiplicando a largura pela altura:
A = x.y = 180 cmdois
E o perímetro P resulta da adição dos lados. Como o perímetro é a soma dos lados:
P = 2x + 2y = 54 cm
O sistema resultante de duas equações e duas incógnitas é:
xy = 180
2 (x + y) = 54
Precisamos de dois números cujo produto é 180 e o duplo produto de sua soma é 54, ou o que é o mesmo: somados eles têm que dar 27. Esses números são 12 e 15.
Na seção de exercícios resolvidos, ofereceremos o método detalhado para encontrar esses valores, enquanto o leitor pode verificar facilmente, substituindo, que eles efetivamente satisfazem ambas as equações..
Índice do artigo
A situação proposta acima contém 2 variáveis, e pelo menos 2 equações são necessárias para encontrá-las. Existem sistemas com muito mais variáveis, mas em qualquer caso, se o sistema tiver n deles, requer pelo menos n equações independentes umas das outras (uma não pode ser uma combinação linear das outras) para encontrar a solução, se houver.
Quanto às aplicações, são inúmeras. Aqui estão alguns em que sistemas de equações provam sua utilidade:
-Encontrar as correntes que fluem através de um circuito usando as leis de Kirchoff.
-Em transporte terrestre e aéreo para estabelecer horários de partida e chegada.
-Encontre as magnitudes das forças em sistemas dinâmicos ou estáticos sujeitos a múltiplas interações.
-Saber a quantidade de itens vendidos durante um determinado período de tempo, ou nas fábricas, para determinar as dimensões dos objetos de forma que satisfaçam certas condições em termos de superfície ou volume.
-Ao determinar como distribuir um capital em vários investimentos.
-Estabeleça as taxas para vários serviços, por exemplo telecomunicações ou shows e saiba a quantidade de dinheiro arrecadada (ver exemplo 2 resolvido)
-Uma equação é escolhida e uma das variáveis é resolvida.
-Então, temos que substituir a variável apagada em outra equação. Então essa variável desaparece daí e se o sistema tem duas equações e duas incógnitas, resta uma equação com uma variável que já pode ser resolvida.
-Se o sistema tem mais de duas variáveis, devemos resolver para uma terceira incógnita de outra equação e substituí-la também.
Um exemplo da aplicação deste método está no exercício resolvido 1.
Este método consiste em adicionar ou subtrair equações para eliminar uma ou mais variáveis e deixar apenas uma. Para fazer isso, é conveniente multiplicar as equações por um fator de forma que, ao somar com outra equação, o desconhecido desapareça. Vejamos um exemplo:
3xdois - Ydois = 11
xdois + 4 anosdois = 8
Multiplicamos a primeira equação por 4:
12xdois - 4 anosdois = 44
xdois + 4 anosdois = 8
Ao adicioná-los, o desconhecido desaparece Y, remanescente:
13xdois = 52
xdois = 4
Portanto x1 = 2 e xdois = -2. Com esses valores, o leitor pode verificar que e1 = 1 e ydois = -1
Quando o sistema é duas equações com duas incógnitas:
-Escolha um desconhecido e resolva para ambas as equações.
-Os resultados são equalizados, o que permite obter uma única equação com uma única incógnita..
-Esta equação é resolvida e o resultado é substituído em uma das folgas anteriores para obter o valor da outra incógnita..
Este método será aplicado no exercício resolvido 2 da seção seguinte.
Este método consiste em representar graficamente as curvas que cada equação representa. O ponto de intersecção é a solução do sistema. O exemplo a seguir mostra a solução gráfica do sistema:
xdois + Y dois = 1
2x + 4y = 0
A primeira das equações é um círculo de raio 1 centrado na origem e a segunda é uma linha.
A intersecção de ambos são os dois pontos mostrados em azul. O leitor pode verificar que substituindo as coordenadas dos pontos nas equações acima, uma igualdade é obtida.
Você precisa fazer folhas retangulares de papel com uma área de 180 cmdois e com um perímetro de 54 cm. Quais devem ser as dimensões da folha?
O sistema a ser resolvido é:
xy = 180
2 (x + y) = 54
A segunda equação pode ser simplificada para x + y = 27, portanto:
xy = 180
x + y = 27
Resolva uma das incógnitas na segunda equação:
y = 27 - x
A folga é substituída no primeiro:
(27 -x) = 180
Aplicando a propriedade distributiva:
-xdois + 27x = 180
Multiplicando por (-1) em ambos os lados da equação e enviando 180 para o lado esquerdo:
xdois - 27x +180 = 0
O resultado é uma equação de segundo grau em x, que é resolvida pela fórmula:
Com a = 1, b = -27 e c = 180
Um parque de diversões tem as seguintes taxas de entrada: crianças $ 1,5 e adultos $ 4. Em um dia, houve 2.200 visitantes, arrecadando US $ 5.050. Encontre o número de crianças e adultos que visitaram o parque naquele dia.
Ser x o número de filhos e Y o número de adultos. Podemos estabelecer a primeira das equações sabendo que a soma de ambas deve ser 2200:
x + y = 2200.
Agora vamos com o dinheiro arrecadado. O preço do ingresso infantil é de R $ 1,5 para cada criança, multiplicando este valor por x, o número de crianças, teremos o valor do ingresso infantil:
1,5x = dinheiro arrecadado para ingressos infantis
E se multiplicarmos US $ 4 por adulto pelo número e número de visitantes adultos, obteremos o dinheiro total para todos os adultos:
4y = dinheiro arrecadado por ingressos de adultos
Somamos isso para obter $ 5050:
1,5x + 4y = 5050
Nosso sistema de equações é:
x + y = 2200
1,5x + 4y = 5050
Vamos resolver isso por equalização. Isolamos a variável y da primeira e da segunda equação:
y = 2200 - x
y = (5050 - 1,5 x) / 4
Nós combinamos as duas expressões:
2200 - x = (5050 - 1,5x) / 4
Multiplicamos tudo por 4 para eliminar a fração:
8800 - 4x = 5050 - 1,5x
Agrupamos os termos com x à esquerda e os números puros à direita:
-4x + 1,5x = 5050 - 8800
-2,5x = -3750
x = 1500 crianças.
Substituímos esse valor em y = 2200 - x para encontrar o número de adultos:
y = 2.200 - 1.500 = 700 adultos.
Ainda sem comentários