O teoria de conjuntos É um ramo da lógica-matemática responsável pelo estudo das relações entre entidades chamadas conjuntos. Os conjuntos caracterizam-se por serem coleções de objetos da mesma natureza. Esses objetos são os elementos do conjunto e podem ser: números, letras, figuras geométricas, palavras que representam objetos, os próprios objetos e outros.
Foi Georg Cantor, no final do século 19, que propôs a teoria dos conjuntos. Enquanto outros matemáticos notáveis no século 20 fizeram sua formalização: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel entre outros..
Os diagramas de Venn são a forma gráfica de representar um conjunto e consiste em uma figura plana fechada dentro da qual estão os elementos do conjunto.
Por exemplo, na figura 1 são mostrados dois conjuntos A e B, que têm elementos em comum, os elementos comuns a A e B. Estes formam um novo conjunto denominado conjunto de intersecção de A e B, que é escrito na forma simbólica como segue:
A ∩ B
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O conjunto é um conceito primitivo, pois é na geometria o conceito de ponto, linha ou plano. Não há melhor maneira de expressar o conceito do que apontar exemplos:
Conjunto E formado pelas cores da bandeira da Espanha. Essa forma de expressar o conjunto é chamada de compreensão. O mesmo conjunto E escrito por extensão é:
E = vermelho, amarelo
Neste caso, vermelho e amarelo são elementos do conjunto E. Deve-se notar que os elementos estão listados entre colchetes e não se repetem. No caso da bandeira espanhola existem três faixas coloridas (vermelha, amarela, vermelha), duas das quais se repetem, mas os elementos não se repetem quando o conjunto é expresso..
Suponha que o conjunto V formado pelas três primeiras letras vocálicas:
V = a, e, i
O conjunto de potência de V, denotado por P (V) é o conjunto de todos os conjuntos que podem ser formados com os elementos de V:
P (V) = a, e, i, a, e, a, i, e, i, a, e, i
É um conjunto em que seus elementos são contáveis. Exemplos de conjuntos finitos são as letras do alfabeto espanhol, as vogais do espanhol, os planetas do sistema solar, entre outros. O número de elementos de um conjunto finito é chamado de cardinalidade.
Entende-se por conjunto infinito tudo aquilo que o número de seus elementos é incontável, pois por maior que seja o número de seus elementos, sempre é possível encontrar mais elementos..
Um exemplo de um conjunto infinito é o conjunto de números naturais N, que em forma extensa é expresso da seguinte forma:
N = 1, 2, 3, 4, 5,…. É claramente um conjunto infinito, pois não importa quão grande seja um número natural, o próximo maior sempre pode ser encontrado, em um processo infinito. Claramente, a cardinalidade de um conjunto infinito é ∞.
É o conjunto que não contém nenhum elemento. O conjunto vazio V é denotado por Ø ou por um par de chaves sem elementos dentro:
V = = Ø.
O conjunto vazio é único, portanto deve ser incorreto dizer "um conjunto vazio", a forma correta é dizer "o conjunto vazio".
Entre as propriedades do conjunto vazio, temos que ele é um subconjunto de qualquer conjunto:
Ø ⊂ A
Além disso, se um conjunto é um subconjunto do conjunto vazio, então, necessariamente, o referido conjunto será o vácuo:
A ⊂ Ø ⇔ A = Ø
Um conjunto de unidades é qualquer conjunto que contenha um único elemento. Por exemplo, o conjunto de satélites naturais da Terra é um conjunto unitário, cujo único elemento é a Lua. O conjunto B de inteiros menores que 2 e maiores que zero possui apenas o elemento 1, portanto é um conjunto unitário.
Um conjunto é binário se tiver apenas dois elementos. Por exemplo, o conjunto X, tal que x é uma solução de número real de x ^ 2 = 2. Este conjunto por extensão é escrito assim:
X = -√2, + √2
O conjunto universal é um conjunto que contém outros conjuntos do mesmo tipo ou natureza. Por exemplo, o conjunto universal de números naturais é o conjunto de números reais. Mas os números reais são um conjunto universal também de números inteiros e racionais.
Em montagens, vários tipos de relacionamento podem ser estabelecidos entre eles e seus elementos. Se dois conjuntos A e B têm exatamente os mesmos elementos entre eles, uma relação de igualdade é estabelecida, denotada da seguinte forma:
PARA = B
Se todos os elementos de um conjunto A pertencem a um conjunto B, mas nem todos os elementos de B pertencem a A, então entre esses conjuntos existe uma relação de inclusão que é denotada assim:
A ⊂ B, mas B ⊄ A
A expressão acima diz: A é um subconjunto de B, mas B não é um subconjunto de A.
Para indicar que alguns ou alguns elementos pertencem a um conjunto, o símbolo de pertinência ∈ é usado, por exemplo, para dizer que x elemento ou elementos pertencem ao conjunto A é escrito simbolicamente assim:
x ∈ A
Se um elemento não pertence ao conjunto A, esta relação é escrita assim:
e ∉ A
A relação de adesão ocorre entre os elementos de um conjunto e o conjunto, com exceção do conjunto de potência, sendo o conjunto de potência a coleção ou conjunto de todos os conjuntos possíveis que podem ser formados com os elementos do referido conjunto.
Suponha que V = a, e, i, seu conjunto de potência é P (V) = a, e, i, a, e, a, i, e, i , a, e, i, neste caso o conjunto V passa a ser um elemento do conjunto P (V) e pode ser escrito:
V ∈ P (V)
A primeira propriedade de inclusão estabelece que todo conjunto está contido em si mesmo, ou seja, que é um subconjunto de si mesmo:
A ⊂ A
A outra propriedade de inclusão é a transitividade: se A é um subconjunto de B e B, por sua vez, é um subconjunto de C, então A é um subconjunto de C. Na forma simbólica, a relação de transitividade é escrita da seguinte maneira:
(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C
Abaixo está o diagrama de Venn correspondente à transitividade da inclusão:
A intersecção é uma operação entre dois conjuntos que dá origem a um novo conjunto pertencente ao mesmo conjunto universal dos dois primeiros. Nesse sentido, é uma operação fechada.
Simbolicamente, a operação de interseção é formulada assim:
A⋂B = x / x∈A ^ x∈B
Um exemplo é o seguinte: o conjunto A das letras da palavra "elementos" e o conjunto B das letras da palavra "repetido", a intersecção entre A e B é escrita assim:
A⋂B = e, l, m, n, t, s ⋂ r, e, p, t, i, d, o, s = e, t, s. O conjunto universal U de A, de B e também de A⋂B é o conjunto das letras do alfabeto espanhol.
A união de dois conjuntos é o conjunto formado pelos elementos comuns aos dois conjuntos e pelos elementos não comuns dos dois conjuntos. A operação de união entre conjuntos é expressa simbolicamente assim:
A∪B = x / x∈A v x∈B
A operação de diferença do conjunto A menos o conjunto B é denotada por A-B. A-B é um novo conjunto formado por todos os elementos que estão em A e que não pertencem a B. Simbolicamente está escrito assim:
A - B = x / x ∈ A ^ x ∉ B
A diferença simétrica é uma operação entre dois conjuntos em que o conjunto resultante é composto de elementos não comuns aos dois conjuntos. A diferença simétrica é simbolicamente representada assim:
A⊕B = x / x∈ (A-B) ^ x∈ (B-A)
O diagrama de Venn é uma forma gráfica de representar conjuntos. Por exemplo, o conjunto C das letras no conjunto de palavras é representado assim:
É mostrado abaixo pelos diagramas de Venn que o conjunto de vogais na palavra "conjunto" é um subconjunto do conjunto de letras na palavra "conjunto".
O conjunto Ñ das letras do alfabeto espanhol é um conjunto finito, este conjunto por extensão é escrito assim:
Ñ = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z e sua cardinalidade é 27.
O conjunto V das vogais em espanhol é um subconjunto do conjunto Ñ:
V ⊂ Ñ portanto, é um conjunto finito.
O conjunto finito V em forma extensa, é escrito assim: V = a, e, i, o, u e sua cardinalidade é 5.
Dados os conjuntos A = 2, 4, 6, 8 e B = 1, 2, 4, 7, 9 determinam A-B e B-A.
A - B são os elementos de A que não estão em B:
A - B = 6, 8
B - A são os elementos de B que não estão em A:
B - A = 1, 7, 9
Escreva em forma simbólica e também por extensão o conjunto P de números naturais pares menores que 10.
Solução: P = x∈ N / x < 10 ^ x mod 2 = 0
P = 2, 4, 6, 8
Suponha que o conjunto A formado pelos números naturais, que são fatores de 210, e o conjunto B, formado pelos números primos naturais menores que 9. Determine por extensão os dois conjuntos e estabeleça que relação existe entre os dois conjuntos.
Solução: Para determinar os elementos do conjunto A, devemos começar encontrando os fatores do número natural 210:
210 = 2 * 3 * 5 * 7
Em seguida, o conjunto A é escrito:
A = 2, 3, 5, 7
Agora consideramos o conjunto B, que são os primos menores que 9. 1 não é primo porque não atende à definição de primo: "um número é primo se e somente se tiver exatamente dois divisores, 1 e o próprio número" . O 2 é par e ao mesmo tempo é primo porque atende à definição de um primo, os outros primos menores que 9 são 3, 5 e 7. Portanto, o conjunto B é:
B = 2, 3, 5, 7
Portanto, os dois conjuntos são iguais: A = B.
Determine o conjunto cujos elementos x são diferentes de x.
Solução: C = x / x ≠ x
Uma vez que cada elemento, número ou objeto é igual a si mesmo, o conjunto C não pode ser diferente do conjunto vazio:
C = Ø
Seja o conjunto de N's de números naturais e Z o conjunto de inteiros. Determine N ⋂ Z e N ∪ Z.
Solução:
N ⋂ Z = x ∈ Z / x ≤ 0 = (-∞, 0]
N ∪ Z = Z porque N ⊂ Z.
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