O Teorema de Torricelli O princípio de Torricelli afirma que a velocidade do líquido que sai pelo orifício na parede de um tanque ou recipiente é idêntica à de um objeto que pode cair livremente de uma altura igual à da superfície livre do líquido. até o buraco.
O teorema é ilustrado na figura a seguir:
Devido ao teorema de Torricelli, podemos então afirmar que a velocidade de saída do líquido por um orifício que está na altura h abaixo da superfície livre do líquido é dada pela seguinte fórmula:
Onde g é a aceleração da gravidade eh é a altura do buraco até a superfície livre do líquido.
Evangelista Torricelli foi um físico e matemático nascido na cidade de Faenza, Itália em 1608. Torricelli é o responsável pela invenção do barômetro de mercúrio e como reconhecimento existe uma unidade de pressão chamada “torr”, equivalente a um milímetro de mercúrio (mm de Hg).
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No teorema de Torricelli e na fórmula que dá a velocidade, ele assume que as perdas de viscosidade são desprezíveis, assim como na queda livre presume-se que o atrito devido ao ar ao redor do objeto em queda é desprezível..
A suposição acima é razoável na maioria dos casos e também envolve a conservação de energia mecânica.
Para provar o teorema, primeiro encontraremos a fórmula para a velocidade de um objeto que é lançado com velocidade inicial zero, da mesma altura da superfície do líquido no tanque..
O princípio de conservação de energia será aplicado para obter a velocidade do objeto em queda apenas quando ele desceu uma altura h igual ao do furo para a superfície livre.
Como não há perdas por atrito, é válido aplicar o princípio da conservação da energia mecânica. Suponha que o objeto em queda tenha massa m e a altura h seja medida a partir do nível de saída do líquido.
Quando o objeto é liberado de uma altura igual à da superfície livre do líquido, sua energia é apenas potencial gravitacional, pois sua velocidade é zero e, portanto, sua energia cinética é zero. A energia potencial Ep é dada por:
Ep = m g h
Quando ele passa na frente do buraco, sua altura é zero, então a energia potencial é zero, então ele só tem energia cinética Ec dada por:
Ec = ½ m vdois
Uma vez que a energia é conservada Ep = Ec do que é obtido:
½ m vdois = m g h
Resolvendo para velocidade v a fórmula de Torricelli é então obtida:
A seguir, encontraremos a velocidade de saída do líquido pelo orifício, a fim de mostrar que ela coincide com a que foi calculada para um objeto em queda livre.
Para isso nos basearemos no princípio de Bernoulli, que nada mais é do que a conservação de energia aplicada aos fluidos..
O princípio de Bernoulli é formulado assim:
A interpretação desta fórmula é a seguinte:
Como partimos da premissa de que se trata de um fluido ideal, em condições não turbulentas com velocidades relativamente baixas, então é pertinente afirmar que a energia mecânica por unidade de volume no fluido é constante em todas as regiões ou seções transversais do mesmo..
Nesta fórmula V é a velocidade do fluido, ρ a densidade do fluido, P pressão e z posição vertical.
A figura abaixo mostra a fórmula de Torricelli partindo do princípio de Bernoulli.
Aplicamos a fórmula de Bernoulli na superfície livre do líquido denotada por (1) e no orifício de saída denotado por (2). O nível de cabeça zero foi escolhido nivelado com o orifício de saída.
Sob a premissa de que a seção transversal em (1) é muito maior do que em (2), podemos então assumir que a taxa de descida do líquido em (1) é praticamente desprezível.
É por isso que V1= 0, a pressão à qual o líquido é submetido em (1) é a pressão atmosférica e a altura medida a partir do orifício é h.
Para a seção de saída (2), assumimos que a velocidade de saída é v, a pressão a que o líquido é submetido na saída também é a pressão atmosférica e a altura de saída é zero.
Os valores correspondentes às seções (1) e (2) são substituídos na fórmula de Bernoulli e iguais. A igualdade é mantida porque assumimos que o fluido é ideal e não há perdas por atrito viscoso. Uma vez que todos os termos foram simplificados, a velocidade no orifício de saída é obtida.
A caixa acima mostra que o resultado obtido é o mesmo de um objeto em queda livre,
A figura a seguir mostra como a fórmula de Torricelli é aplicada a este caso.
II) Supondo que o tubo de saída do tanque do exercício anterior tenha um diâmetro de 1 cm, calcule o fluxo de saída de água.
A taxa de fluxo é o volume de líquido que sai por unidade de tempo, e é calculada simplesmente multiplicando a área do orifício de saída pela velocidade de saída.
A figura a seguir mostra os detalhes do cálculo.
III) Determine a altura da superfície livre da água em um recipiente, se você souber
que em um buraco no fundo do recipiente, a água sai a 10 m / s.
Mesmo quando o buraco está no fundo do recipiente, a fórmula de Torricelli ainda pode ser aplicada.
A figura a seguir mostra o detalhe dos cálculos.
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