Teorema de Varignon

Qual é o teorema de Varignon?

O teorema de Varignon, em Mecânica, afirma que a soma dos momentos produzidos por um sistema de forças concorrentes em relação a um determinado ponto é igual ao momento da força resultante em relação ao mesmo ponto..

Por esta razão, este teorema também é conhecido como o começo dos momentos.

Embora o primeiro a enunciá-lo tenha sido o holandês Simon Stevin (1548-1620), o criador do paradoxo hidrostático, o matemático francês Pierre Varignon (1654-1722) foi quem mais tarde lhe deu sua forma final.

Um exemplo de como o teorema de Varignon funciona em Mecânica é o seguinte: suponha que um sistema simples de duas forças coplanares e concorrentes atue em um ponto F₁ Y F_dois, (indicado em negrito por causa de seu caractere vetorial). Essas forças dão origem a uma rede ou força resultante, chamada F_R.

Cada força exerce um torque ou momento sobre um ponto O, que é calculado pelo produto vetorial entre o vetor posição r_OP e a força F, Onde r_OP é direcionado de O para o ponto de simultaneidade P:

M_O1 = r_OP × F₁

M_O2 = r_OP × F_dois

Dado que F_R = F₁ + F_dois, então:

M_OU = r_OP × F₁ + r_OP × F_dois = M_O1 + M_O2

Mas como r_OP é um fator comum, então, a aplicação de propriedade distributiva ao produto vetorial:

M_OU = r_OP × (F₁ + F_dois) = r_OP × F_R                

Portanto, a soma dos momentos ou torques de cada força em relação ao ponto O é equivalente ao momento da força resultante em relação ao mesmo ponto.

Declaração e prova

Let Ser um sistema de N forças concorrentes, formado por F₁, F_dois, F₃... F_N, cujas linhas de ação se cruzam no ponto P (ver figura 1), o momento deste sistema de força M_OU, em relação a um ponto O é dado por:

M_OU = r_OP × F₁ + r_OP × F_dois + r_OP × F₃ +... r_OP × F_N = r_OP × (F₁ + F_dois + F₃ +... F_N)

Demonstração

Para provar o teorema, é feito uso da propriedade distributiva do produto vetorial entre vetores.

Sejam as forças F₁, F_dois, F₃... F_N aplicado aos pontos A₁, PARA_dois, PARA₃… PARA_N e concorrente no ponto P. O momento resultante deste sistema, com relação a um ponto O, denominado M_OU, é a soma dos momentos de cada força, com relação ao referido ponto:

M_OU = ∑ r_OAi × F_eu

Onde a soma vai de i = 1 a i = N, uma vez que existem N forças. Como estamos lidando com forças concorrentes e como o produto vetorial entre vetores paralelos é zero, acontece que:

r_PAi × F_eu = 0

Com o vetor nulo denotado como 0.

O momento de uma das forças em relação a O, por exemplo o da força F_eu aplicado em A_eu, se escreve assim:

M_ouvi = r_OAi × F_eu

O vetor de posição r_OAi  pode ser expresso como a soma de dois vetores de posição:

r_OAi = r_OP + r_PAi

Desta forma, o momento sobre O da força F_eu isso é:

M_ouvi = (r_OP + r_PAi) × F_eu = (r_OP × F_eu) + (r_PAi × F_eu)

Mas o último termo é nulo, conforme explicado acima, porque r_PAi está na linha de ação de F_eu, portanto:

M_ouvi = r_OP × F_eu

Sabendo que o momento do sistema em relação ao ponto O é a soma de todos os momentos individuais de cada força em relação ao referido ponto, então:

M_OU = ∑ M_ouvi = ∑ r_OP × F_eu

o que r_OP é constante resulta da soma:

M_OU = r_OP × (∑ F_eu)

Mas ∑ F_eu é simplesmente a força resultante ou força resultante F_R, portanto, conclui-se imediatamente que:

M_OU = r_OP × F_R

Exemplo

O teorema de Varignon facilita o cálculo do momento de força F Com relação ao ponto O na estrutura mostrada na figura, se a força é decomposta em seus componentes retangulares e o momento de cada um deles é calculado:

Aplicações do teorema de Varignon

Quando a força resultante de um sistema é conhecida, o teorema de Varignon pode ser aplicado para substituir a soma de cada um dos momentos produzidos pelas forças que o compõem pelo momento da resultante.

Se o sistema consiste em forças no mesmo plano e o ponto em relação ao qual o momento deve ser calculado pertence a esse plano, o momento resultante é perpendicular.

Por exemplo, se todas as forças estão no plano xy, o momento é direcionado no eixo z e resta apenas encontrar sua magnitude e seu sentido, como é o caso do exemplo descrito acima.

Nesse caso, o teorema de Varignon nos permite calcular o momento resultante do sistema por meio da soma. É muito útil no caso de um sistema de força tridimensional, para o qual a direção do momento resultante não é conhecida a priori..

Para resolver esses exercícios, é conveniente decompor as forças e posicionar os vetores em suas componentes retangulares e, a partir da soma dos momentos, determinar as componentes do momento líquido..

Exercício resolvido

Usando o teorema de Varignon, calcule o momento da força F em torno do ponto O mostrado na figura se a magnitude de F é 725 N.

Solução

Para aplicar o teorema de Varignon, decomponha a força F em duas componentes, cujos respectivos momentos em torno de O são calculados e somados para obter o momento resultante.

F_x = 725 N ∙ cos 37 º = 579,0 N

F_Y = - 725 N N ∙ sin 37 º = −436,3 N

Da mesma forma, o vetor posição r direcionado de O para A tem os componentes:

r_x = 2,5 m

r_Y = 5,0 m

O momento de cada componente da força em torno de O é encontrado multiplicando-se a força e a distância perpendicular.

Ambas as forças tendem a girar a estrutura na mesma direção, que neste caso é no sentido horário, à qual um sinal positivo é arbitrariamente atribuído:

M_Boi = F_x∙ r_Y ∙ sen 90º = 579,0 N ∙ 5,0 m = 2895 N ∙ m

M_Oi = F_Y∙ r_x ∙ sin (−90º) = −436,3 N ∙ 2,5 m ∙ (−1) = 1090,8 N ∙ m

O momento resultante sobre O é:

M_OU = M_Boi + M_Oi = 3985,8 N ∙ m perpendicular ao plano e no sentido horário.

Referências

1. Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison wesley. 
2. Beer, F. 2010. Static. McGraw Hill. 9º. Edição.
3. Hibbeler, R. 1992. Mecânica para engenheiros. 6º. Edição. CECSA.
4. HK Engineering. Teorema de Varignon. Recuperado de: youtube.com.
5. Wikipedia. Teorema de Varignon (Mecânica). Recuperado de: en.wikipedia.org.