O transformada de Fourier é um método de adequação analítica orientado para funções integráveis que pertence à família de ttransformado integralmente. Consiste em uma redefinição de funções F (t) em termos de Cos (t) e Sen (t).
As identidades trigonométricas dessas funções, juntamente com suas características de derivação e antiderivação, servem para definir a transformada de Fourier por meio da seguinte função complexa:
O que é verdade, desde que a expressão faça sentido, isto é, quando a integral imprópria é convergente. Algebricamente, a transformada de Fourier é considerada um homeomorfismo linear.
Toda função que pode ser trabalhada com uma transformada de Fourier deve apresentar nulo fora de um parâmetro definido.
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A transformação de Fourier atende às seguintes propriedades:
Verificar a existência da transformada de Fourier em uma função f (t) definida em reais R, os 2 axiomas a seguir devem ser cumpridos:
Sejam M (t) e N (t) quaisquer duas funções com transformadas de Fourier definidas, com quaisquer constantes a e b.
F [a M (t) + b N (t)] (z) = a F [M (t)] (z) + b F [N (t)] (z)
Que também é apoiado pela linearidade da integral de mesmo nome.
Tem uma função F que é contínuo e integrável em todos os reais, onde:
E a derivada de f (f ') é contínua e definida aos poucos ao longo de R
A transformada de Fourier de uma derivada é definida pela integração por partes, pela seguinte expressão:
F [f '(t)] (z) = izF [f (t)] (z)
Nas derivações de ordem superior, será aplicado de forma homóloga, onde para todo n 1 temos:
F [f n'(t)] (z) = (iz)nF [f (t)] (z)
Tem uma função F que é contínuo e integrável em todos os reais, onde:
i (d / dz)F [f (t)] (z) = F [t. f (t)] (z)
Para tudo θ que pertence a um conjunto S e T que pertence ao conjunto S ', temos:
F [ τpara θ] = e-iay F [ θ] F [ τparaT ] = e-iax F [ T]
Com τpara trabalhando como o operador de tradução no vetor a.
Para tudo θ que pertence a um conjunto S e T que pertence ao conjunto S ', temos:
τpara F [θ] = F [e-iax.θ] τpara F [T ] = F [e-iay . T]
Para tudo para que pertence a R
Para tudo θ que pertence a um conjunto S. T que pertence ao conjunto S '
λ pertencente a R - 0 se tem que:
F [θ (λx)] = (1 / | λ |) F [θ] (Y /λ)
F [T (λx)] = (1 / | λ |) F [T] (y / λ)
sim F é uma função contínua e claramente integrável, onde a> 0. Então:
F [f (at)] (z) = (1 / a) F [f (t)] (z / a)
Para demonstrar este resultado, podemos prosseguir com a mudança da variável.
Quando T → + então s = em → + ∞
Quando T → - então s = em → - ∞
Para estudar a simetria da transformada de Fourier, a identidade de Parseval e a fórmula de Plancherel deve ser verificada.
Temos θ e δ que pertencem a S. A partir daí, pode-se deduzir que:
Recebendo
1 / (2π)d F [θ ], F [δ] Identidade de Parseval
1 / (2π)d / 2 || F [θ ] ||eudoisRd Fórmula Plancherel
Perseguindo objetivos semelhantes aos da transformada de Laplace, a convolução de funções refere-se ao produto entre suas transformadas de Fourier..
Temos feg como 2 funções limitadas, definidas e completamente integráveis:
F (f * g) = F (f). F (g)
Então, ao mudar a variável
t + s = x; continua com o integral duplo impróprio
F (f). F (g) = F (f. G)
Para tudo θ que pertence a R, F [ θ] obedece aos critérios de uma função contínua limitada em Rd.
Também F [ θ] (y) → 0 em C se | y | → ∞
Este conceito matemático foi apresentado por Joseph B. Fourier em 1811 ao desenvolver um tratado sobre o propagação de calor. Foi rapidamente adotado por vários ramos da ciência e da engenharia.
Estabeleceu-se como principal ferramenta de trabalho no estudo de equações com derivadas parciais, mesmo comparando-a com a relação de trabalho existente entre as Transformada de Laplace e equações diferenciais ordinárias.
Ele serve principalmente para simplificar significativamente as equações, enquanto transforma expressões derivadas em elementos de potência, denotando expressões diferenciais na forma de polinômios integráveis..
Na otimização, modulação e modelagem de resultados, atua como uma expressão padronizada, sendo um recurso frequente para a engenharia após várias gerações..
São séries definidas em termos de cossenos e senos; Eles servem para facilitar o trabalho com funções periódicas gerais. Quando aplicados, fazem parte das técnicas de resolução de equações diferenciais ordinárias e parciais..
As séries de Fourier são ainda mais gerais do que as séries de Taylor, porque desenvolvem funções descontínuas periódicas que não possuem uma representação da série de Taylor..
Para entender a transformada de Fourier analiticamente, é importante revisar as outras maneiras pelas quais a série de Fourier pode ser encontrada, até que possamos definir a série de Fourier em sua notação complexa..
Muitas vezes é necessário adaptar a estrutura de uma série de Fourier para funções periódicas cujo período é p = 2L> 0 no intervalo [-L, L].
O intervalo [-π, π] é considerado, o que oferece vantagens ao aproveitar as características simétricas das funções.
Se f for par, a série de Fourier é estabelecida como uma série de cossenos.
Se f for ímpar, a série de Fourier é estabelecida como uma série de senos.
Se tivermos uma função f (t), que atende a todos os requisitos de desenvolvibilidade da série de Fourier, é possível denotá-la no intervalo [-t, t] usando sua notação complexa:
A transformada de Fourier é uma ferramenta poderosa no estudo de equações diferenciais parciais do tipo linear com coeficientes constantes. Eles se aplicam a funções com domínios ilimitados igualmente.
Como a transformada de Laplace, a transformada de Fourier transforma uma função derivada parcial em uma equação diferencial ordinária muito mais simples de operar..
O problema de Cauchy para a equação do calor apresenta um campo de aplicação frequente da transformada de Fourier onde a função é gerada. núcleo de calor ou núcleo de Dirichlet.
Em relação ao cálculo da solução fundamental, são apresentados os seguintes casos em que é comum encontrar a transformada de Fourier:
-Equação de Laplace
-Equação de calor
-Equação de Schrödinger
-Equação de onda
A razão geral para a aplicação da transformada de Fourier neste ramo é principalmente devido à decomposição característica de um sinal como uma superposição infinita de sinais mais facilmente tratáveis.
Pode ser uma onda sonora ou uma onda eletromagnética, a transformada de Fourier expressa isso em uma superposição de ondas simples. Esta representação é bastante frequente na engenharia elétrica.
Por outro lado, existem exemplos da aplicação da transformada de Fourier no campo da teoria dos sinais:
-Problemas de identificação do sistema. Estabelecido f e g
-Problema de consistência do sinal de saída
-Problemas com filtragem de sinal
Defina a transformação de Fourier para a seguinte expressão:
Também podemos representá-lo da seguinte maneira:
F (t) = Sen (t) [H(t + k) - H(t - k) ]
O pulso retangular é definido:
p (t) = H(t + k) - H(t - k)
A transformada de Fourier é aplicada à seguinte expressão que se assemelha ao teorema da modulação.
f (t) = p (t) Sen (t)
Onde: F [w] = (1/2) i [p (w + 1) - p (w - 1)]
E a transformada de Fourier é definida por:
F [w] = (1/2) i [(2 / 2w + 1) Sen (k (w + 1)) - (2 / 2w + 1) Sen (k (w-1))]
Defina a transformação de Fourier para a expressão:
Uma vez que f (h) é uma função par, pode-se afirmar que
A integração por partes é aplicada selecionando as variáveis e seus diferenciais como segue
u = sin (zh) du = z cos (zh) dh
dv = h (e-h)dois v = (e-h)dois / dois
Substituindo você tem
Depois de avaliar sob o teorema fundamental do cálculo
Aplicando o conhecimento prévio sobre equações diferenciais de primeira ordem, a expressão é denotada como
Para obter K avaliamos
Finalmente, a transformada de Fourier da expressão é definida como
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