O Transformada de Laplace Nos últimos anos tem tido grande importância nos estudos de engenharia, matemática e física, entre outras áreas científicas, pois além de ser de grande interesse teórico, fornece uma maneira simples de resolver problemas que vêm da ciência e da engenharia..
Originalmente, a transformada de Laplace foi apresentada por Pierre-Simón Laplace em seu estudo sobre a teoria da probabilidade e foi inicialmente tratada como um objeto matemático de interesse puramente teórico..
As aplicações atuais surgem quando vários matemáticos tentaram dar uma justificação formal às "regras operacionais" usadas por Heaviside no estudo de equações da teoria eletromagnética..
Índice do artigo
Seja f uma função definida para t ≥ 0. A transformada de Laplace é definida da seguinte forma:
Diz-se que a transformada de Laplace existe se a integral anterior convergir, caso contrário, diz-se que a transformada de Laplace não existe.
Em geral, letras minúsculas são usadas para denotar a função a ser transformada, e a letra maiúscula corresponde à sua transformação. Assim teremos:
Considere a função constante f (t) = 1. Temos que sua transformação é:
Sempre que a integral converge, ou seja, sempre que s> 0. Caso contrário, s < 0, la integral diverge.
Seja g (t) = t. Sua transformada de Laplace é dada por
Integrando por partes e sabendo que você-st tende a 0 quando t tende a infinito es> 0, junto com o exemplo anterior que temos:
A transformada pode ou não existir, por exemplo para a função f (t) = 1 / t a integral que define sua transformada de Laplace não converge e, portanto, sua transformação não existe.
As condições suficientes para garantir que a transformada de Laplace de uma função f exista são que f é contínua em partes para t ≥ 0 e é de ordem exponencial.
Diz-se que uma função é contínua por partes para t ≥ 0, quando para qualquer intervalo [a, b] com a> 0, há um número finito de pontos tk, onde f tem descontinuidades e é contínuo em cada subintervalo [tk-1,tk].
Por outro lado, diz-se que uma função é de ordem exponencial c se houver constantes reais M> 0, c e T> 0 tais que:
Como exemplos, temos que f (t) = tdois é de ordem exponencial, pois | tdois| < e3t para todo t> 0.
De uma forma formal, temos o seguinte teorema
Se f é uma função parte contínua para t> 0 e de ordem exponencial c, então existe a transformada de Laplace para s> c.
É importante observar que esta é uma condição de suficiência, ou seja, pode ser que haja uma função que não atenda a essas condições e mesmo assim exista sua transformada de Laplace..
Um exemplo disso é a função f (t) = t-1/2 que não é contínua por partes para t ≥ 0, mas sua transformada de Laplace existe.
A tabela a seguir mostra as transformadas de Laplace das funções mais comuns.
A transformação de Laplace deve seu nome a Pierre-Simon Laplace, um matemático francês e astrônomo teórico que nasceu em 1749 e morreu em 1827. Sua fama era tal que ele ficou conhecido como o Newton da França.
Em 1744, Leonard Euler dedicou seus estudos a integrais com a forma
como soluções de equações diferenciais ordinárias, mas ele rapidamente abandonou esta investigação. Mais tarde, Joseph Louis Lagrange, que admirava muito Euler, também investigou este tipo de integrais e os relacionou com a teoria da probabilidade.
Em 1782 Laplace começou a estudar essas integrais como soluções para equações diferenciais e, segundo historiadores, em 1785 decidiu reformular o problema, o que posteriormente deu origem às transformadas de Laplace como são entendidas hoje..
Tendo sido introduzida no campo da teoria da probabilidade, era de pouco interesse para os cientistas da época e era vista apenas como um objeto matemático de interesse apenas teórico..
Foi em meados do século 19 quando o engenheiro inglês Oliver Heaviside descobriu que os operadores diferenciais podem ser tratados como variáveis algébricas, dando assim às transformadas de Laplace sua aplicação moderna..
Oliver Heaviside foi um físico, engenheiro elétrico e matemático inglês que nasceu em Londres em 1850 e morreu em 1925. Enquanto tentava resolver problemas de equações diferenciais aplicados à teoria da vibração e usando os estudos de Laplace, ele começou a moldar as aplicações modernas das transformadas de Laplace.
Os resultados apresentados por Heaviside rapidamente se espalharam pela comunidade científica da época, mas como seu trabalho não era rigoroso, ele foi rapidamente criticado pelos matemáticos mais tradicionais..
No entanto, a utilidade do trabalho de Heaviside na resolução de equações da física tornou seus métodos populares entre os físicos e engenheiros..
Apesar destes contratempos e após algumas décadas de tentativas fracassadas, no início do século XX uma justificação rigorosa poderia ser dada às regras operacionais dadas por Heaviside..
Essas tentativas deram frutos graças aos esforços de vários matemáticos como Bromwich, Carson, van der Pol, entre outros..
Dentre as propriedades da transformada de Laplace, destacam-se as seguintes:
Sejam c1 e c2 constantes ef (t) e funções g (t) cujas transformadas de Laplace são F (s) e G (s) respectivamente, então temos:
Devido a esta propriedade, a transformada de Laplace é considerada um operador linear.
Exemplo
Se acontecer que:
E 'a' é qualquer número real, então:
Exemplo
Uma vez que a transformada de Laplace de cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), então:
sim
Então
Exemplo
Se f (t) = t ^ 3, então F (s) = 6 / s ^ 4. E, portanto, a transformação de
é G (s) = 6e-2s/ s ^ 4
sim
E 'a' é um real diferente de zero, temos que
Exemplo
Uma vez que a transformação de f (t) = sin (t) é F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), temos
Se f, f ', f ", ..., f(n) são contínuos para t ≥ 0 e são de ordem exponencial e f(n)(t) é contínuo por partes para t ≥ 0, então
sim
Então
Se tivermos que
Então
Se tivermos que
Então
Seja f uma função periódica com período T> 0, ou seja, f (t + T) = f (t), então
Se f é contínuo em partes e de ordem exponencial e
Então
Quando aplicamos a transformada de Laplace a uma função f (t), obtemos F (s), que representa a referida transformação. Da mesma forma, podemos dizer que f (t) é a transformada de Laplace inversa de F (s) e é escrita como
Sabemos que as transformadas de Laplace de f (t) = 1 e g (t) = t são F (s) = 1 / se G (s) = 1 / sdois respectivamente, portanto, temos que
Algumas transformações de Laplace inversas comuns são as seguintes
Além disso, a transformada inversa de Laplace é linear, ou seja, é verdade que
Achar
Para resolver este exercício, devemos combinar a função F (s) com uma da tabela anterior. Neste caso, se tomarmos n + 1 = 5 e usando a propriedade de linearidade da transformada inversa, multiplicamos e dividimos por 4! Recebendo
Para a segunda transformada inversa aplicamos frações parciais para reescrever a função F (s) e então a propriedade de linearidade, obtendo
Como podemos ver nesses exemplos, é comum que a função F (s) sendo avaliada não corresponda precisamente a nenhuma das funções fornecidas na tabela. Para esses casos, como pode ser visto, basta reescrever a função até chegar à forma adequada.
A principal aplicação das transformadas de Laplace é resolver equações diferenciais.
Usando a propriedade de transformação de um derivado, é claro que
E das n-1 derivadas avaliadas em t = 0.
Esta propriedade torna a transformada muito útil para resolver problemas de valor inicial onde estão envolvidas equações diferenciais com coeficientes constantes..
Os exemplos a seguir mostram como usar a transformada de Laplace para resolver equações diferenciais.
Dado o seguinte problema de valor inicial
Use a transformação de Laplace para encontrar a solução.
Aplicamos a transformada de Laplace a cada membro da equação diferencial
Pela propriedade da transformação de uma derivada, temos
Ao desenvolver toda a expressão e limpar Y (s), ficamos
Usando frações parciais para reescrever o lado direito da equação, obtemos
Finalmente, nosso objetivo é encontrar uma função y (t) que satisfaça a equação diferencial. Usando a transformada inversa de Laplace nos dá o resultado
Resolver
Como no caso anterior, aplicamos a transformação em ambos os lados da equação e separamos termo por termo.
Desta forma, temos como resultado
Substituindo pelos valores iniciais fornecidos e resolvendo por Y (s)
Usando frações simples, podemos reescrever a equação da seguinte maneira
E a aplicação da transformada inversa de Laplace nos dá o resultado
Nesses exemplos, você pode chegar à conclusão errada de que esse método não é muito melhor do que os métodos tradicionais para resolver equações diferenciais..
As vantagens da transformada de Laplace é que você não precisa usar variação de parâmetro ou se preocupar com os vários casos do método do coeficiente indeterminado..
Além disso, ao resolver problemas de valor inicial por este método, desde o início usamos as condições iniciais, portanto, não é necessário realizar outros cálculos para encontrar a solução particular.
A transformada de Laplace também pode ser usada para encontrar soluções para equações diferenciais ordinárias simultâneas, como mostra o exemplo a seguir.
Separar
Com as condições iniciais x (0) = 8 ey (0) = 3.
Se tivermos que
Então
A resolução nos dá como resultado
E aplicando a transformada inversa de Laplace, temos
A transformada de Laplace é de grande importância na física, tendo principalmente aplicações em mecânica e circuitos elétricos..
Um circuito elétrico simples é composto dos seguintes elementos
Um switch, uma bateria ou fonte, um indutor, um resistor e um capacitor. Quando a chave é fechada, uma corrente elétrica é produzida, denotada por i (t). A carga do capacitor é denotada por q (t).
Pela segunda lei de Kirchhoff, a tensão produzida pela fonte E para o circuito fechado deve ser igual à soma de cada uma das quedas de tensão.
A corrente elétrica i (t) está relacionada à carga q (t) no capacitor por i = dq / dt. Por outro lado, a queda de tensão em cada um dos elementos é definida da seguinte forma:
A queda de tensão em um resistor é iR = R (dq / dt)
A queda de tensão em um indutor é L (di / dt) = L (ddoisq / dtdois)
A queda de tensão em um capacitor é q / C
Com esses dados e aplicando a segunda lei de Kirchhoff ao circuito fechado simples, é obtida uma equação diferencial de segunda ordem que descreve o sistema e nos permite determinar o valor de q (t)..
Um indutor, um capacitor e um resistor são conectados a uma bateria E, como mostrado na figura. O indutor é de 2 Henry, o capacitor é de 0,02 farads e a resistência é de 16 ohms. No tempo t = 0, o circuito é fechado. Encontre a carga e a corrente a qualquer momento t> 0 se E = 300 volts.
Temos que a equação diferencial que descreve este circuito é a seguinte
Onde as condições iniciais são q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).
Aplicando a transformada de Laplace, obtemos que
E resolvendo para Q (t)
Então, aplicando a transformada de Laplace inversa, temos
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