UMA trapézio escaleno é um polígono com quatro lados, dois dos quais são paralelos entre si, e com seus quatro ângulos internos de diferentes medidas.
O quadrilátero ABCD é mostrado abaixo, onde os lados AB e DC são paralelos um ao outro. Isso é o suficiente para torná-lo um trapézio, mas além disso, os ângulos internos α, β, γ e δ são todos diferentes, portanto o trapézio é escaleno.
Índice do artigo
Aqui estão os elementos mais característicos:
-Bases e lados: os lados paralelos do trapézio são suas bases e os dois lados não paralelos são as laterais.
Em um trapézio escaleno, as bases são de comprimentos diferentes e as laterais também. No entanto, um trapézio escaleno pode ter uma lateral igual em comprimento a uma base..
-Mediana: é o segmento que une os pontos médios das laterais.
-Diagonais: a diagonal de um trapézio é o segmento que une dois vértices opostos. Um trapézio, como todo quadrilátero, tem duas diagonais. No trapézio escaleno, eles são de comprimentos diferentes.
Além do trapézio escaleno, existem outros trapézios particulares: o trapézio direito e o trapézio isósceles..
Um trapézio é um retângulo quando um de seus ângulos está correto, enquanto um trapézio isósceles tem seus lados de igual comprimento.
A forma trapezoidal tem inúmeras aplicações em nível de design e indústria, como na configuração de asas de aeronaves, formas de objetos do dia a dia, como mesas, encostos de cadeiras, embalagens, bolsas, estampas têxteis e muito mais..
Listadas abaixo estão as propriedades do trapézio escaleno, muitos dos quais se estendem a outros tipos de trapézio. A seguir, ao se falar em "trapézio", a propriedade será aplicável a qualquer tipo, inclusive o escaleno..
1. A mediana do trapézio, ou seja, o segmento que une os pontos médios de seus lados não paralelos, é paralelo a qualquer uma das bases.
2.- A mediana de um trapézio tem um comprimento que é a semi-soma de suas bases e corta suas diagonais no ponto médio.
3.- As diagonais de um trapézio se cruzam em um ponto que as divide em duas seções que são proporcionais aos quocientes das bases.
4.- A soma dos quadrados das diagonais de um trapézio é igual à soma dos quadrados de seus lados mais o duplo produto de suas bases..
5.- O segmento que une os pontos médios das diagonais tem um comprimento igual à semidiferença das bases.
6.- Os ângulos adjacentes aos laterais são complementares.
7.- Em um trapézio escaleno, o comprimento de suas diagonais são diferentes.
8.- Um trapézio tem uma circunferência inscrita apenas se a soma de suas bases for igual à soma de seus lados.
9.- Se um trapézio tem uma circunferência inscrita, então o ângulo com o vértice no centro da dita circunferência e lados que passam pelas extremidades da lateral do trapézio é reto.
10.- Um trapézio escaleno não tem circunferência circunscrita, o único tipo de trapézio que a tem é o isósceles.
As relações a seguir do trapézio escaleno são referidas na figura a seguir.
1.- Se AE = ED e BF = FC → EF || AB e EF || DC.
2.- EF = (AB + DC) / 2 ou seja: m = (a + c) / 2.
3.- DI = IB = d1 / 2 e AG = GC = ddois /dois.
4.- DJ / JB = (c / a) da mesma forma CJ / JA = (c / a).
5.- DBdois + ACdois = ADdois + ACdois + 2 AB ∙ DC
Equivalentemente:
d1dois + ddoisdois = ddois + bdois + 2 a ∙ c
6.- GI = (AB - DC) / 2
Quer dizer:
n = (a - c) / 2
7.- α + δ = 180⁰ e β + γ = 180⁰
8.- Se α ≠ β ≠ γ ≠ δ então d1 ≠ d2.
9.- A Figura 4 mostra um trapézio escaleno que tem uma circunferência inscrita, neste caso é verdade que:
a + c = d + b
10.- Em um trapézio escaleno ABCD com uma circunferência inscrita de centro O, o seguinte também é verdadeiro:
∡AOD = ∡BOC = 90⁰
A altura de um trapézio é definida como o segmento que vai de um ponto da base perpendicularmente à base oposta (ou ao seu prolongamento).
Todas as alturas do trapézio têm a mesma medida h, portanto, na maioria das vezes, a palavra altura se refere à sua medida. Em síntese, a altura é a distância ou separação entre as bases.
A altura h pode ser determinada conhecendo o comprimento de um lado e um dos ângulos adjacentes ao lado:
h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)
A medida m da mediana do trapézio é a semi-soma das bases:
m = (a + b) / 2
d1 = √ [adois + ddois - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α)]
ddois= √ [adois + bdois - 2 ∙ a ∙ b ∙ Cos (β)]
Também pode ser calculado se apenas o comprimento dos lados do trapézio for conhecido:
d1 = √ [bdois + a ∙ c - a (bdois - ddois) / (a - c)]
ddois = √ [ddois + a ∙ c - a (ddois - bdois) / (a - c)]
O perímetro é o comprimento total do contorno, ou seja, a soma de todos os seus lados:
P = a + b + c + d
A área de um trapézio é a semi-soma de suas bases multiplicada por sua altura:
A = h ∙ (a + b) / 2
Também pode ser calculado se a mediana me a altura h forem conhecidas:
A = m ∙ h
Caso apenas o comprimento dos lados do trapézio seja conhecido, a área pode ser determinada usando a fórmula de Heron para o trapézio:
A = [(a + c) / | a-c |] ∙ √ [(s-a) (s-c) (s-a-d) (s-a-b)]
Onde s é o semiperímetro: s = (a + b + c + d) / 2.
A intersecção da mediana com as diagonais e o paralelo que passa pela intersecção das diagonais dá origem a outras relações.
EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2
Se KL || AB || DC com J ∈ KL, então KJ = JL = (a ∙ c) / (a + c)
Dadas as bases dos comprimentos para Y c, onde a> c e com lados de comprimentos b e d, sendo b> d, prossiga seguindo estas etapas (veja a figura 6):
1.- Com a regra desenha-se o segmento do AB maior.
2.- A partir de A se e em AB o ponto P é marcado de forma que AP = c.
3.- Com a bússola com centro em P e raio d, um arco é desenhado.
4.- Centro em B com o raio b desenhando um arco que intercepta o arco desenhado no passo anterior. Chamamos Q de ponto de intersecção.
5.- Com o centro em A, desenhe um arco de raio d.
6.- Com o centro em Q, desenhe um arco de raio c que intercepta o arco desenhado no passo anterior. O ponto de corte será denominado R.
7.- Os segmentos BQ, QR e RA são traçados com a régua.
8.- O quadrilátero ABQR é um trapézio escaleno, visto que APQR é um paralelogramo que garante que AB || Qr.
Os seguintes comprimentos são dados em cm: 7, 3, 4 e 6.
a) Determine se com eles é possível construir um trapézio escaleno que possa circunscrever um círculo.
b) Encontre o perímetro, a área, o comprimento das diagonais e a altura do referido trapézio, bem como o raio do círculo inscrito.
Usando os segmentos de comprimento 7 e 3 como bases e aqueles de comprimento 4 e 6 como laterais, um trapézio escaleno pode ser construído usando o procedimento descrito na seção anterior.
Resta verificar se possui circunferência inscrita, mas lembrando da propriedade (9):
Um trapézio tem uma circunferência inscrita apenas se a soma de suas bases for igual à soma de seus lados.
Vemos isso de forma eficaz:
7 + 3 = 4 + 6 = 10
Então, a condição de existência da circunferência inscrita é cumprida.
O perímetro P é obtido somando os lados. Como as bases somam 10 e as laterais também, o perímetro é:
P = 20 cm
Para determinar a área, conhecida apenas seus lados, a relação é aplicada:
A = [(a + c) / | a-c |] ∙ √ [(s-a) (s-c) (s-a-d) (s-a-b)]
Onde s é o semiperímetro:
s = (a + b + c + d) / 2.
No nosso caso, o semiperímetro vale s = 10 cm. Depois de substituir os respectivos valores:
a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm
Permanece:
A = [10/4] √ [(3) (7) (- 1) (- 3)] = (5/2) √63 = 19,84 cm².
A altura h está relacionada à área A pela seguinte expressão:
A = (a + c) ∙ h / 2, a partir do qual a altura pode ser obtida por desmatamento:
h = 2A / (a + c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.
O raio do círculo inscrito é igual a metade da altura:
r = h / 2 = 1.984 cm
Finalmente, o comprimento das diagonais é encontrado:
d1 = √ [bdois + a ∙ c - a (bdois - ddois) / (a - c)]
ddois = √ [ddois + a ∙ c - a (ddois - bdois) / (a - c)]
Substituindo adequadamente os valores, temos:
d1 = √ [6dois + 7 ∙ 3 - 7 (6dois - 4dois) / (7 - 3)] = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)
ddois = √ [4dois + 7 ∙ 3 - 7 (4dois - 6dois) / (7 - 3)] = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)
Ou seja: d1 = 4,69 cm e ddois = 8,49 cm
Determine os ângulos internos do trapézio com bases AB = a = 7, CD = c = 3 e ângulos laterais BC = b = 6, DA = d = 4.
O teorema do cosseno pode ser aplicado para determinar os ângulos. Por exemplo, o ângulo ∠A = α é determinado a partir do triângulo ABD com AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 e DA = d = 4.
O teorema do cosseno aplicado a este triângulo é assim:
ddoisdois = adois + ddois - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), ou seja:
72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).
Resolvendo para, o cosseno do ângulo α é obtido:
Cos (α) = -1/8
Ou seja, α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.
Da mesma forma, são obtidos os demais ângulos, sendo seus valores:
β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ e finalmente δ = 82,82⁰.
Ainda sem comentários