UMA Triângulo isósceles é um polígono com três lados, onde dois deles têm a mesma medida e o terceiro lado uma medida diferente. Este último lado é chamado de base. Devido a essa característica foi dado esse nome, que em grego significa "pernas iguais"
Os triângulos são polígonos considerados os mais simples em geometria, porque são compostos de três lados, três ângulos e três vértices. São os que apresentam menor número de lados e ângulos em relação aos demais polígonos, porém seu uso é muito extenso.
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O triângulo isósceles foi classificado usando a medida de seus lados como parâmetro, uma vez que dois de seus lados são congruentes (têm o mesmo comprimento)..
Com base na amplitude dos ângulos internos, os triângulos isósceles são classificados como:
Os triângulos isósceles são definidos ou identificados porque possuem várias propriedades que os representam, originadas dos teoremas propostos por grandes matemáticos:
A soma dos ângulos internos é sempre igual a 180ou.
A soma das medidas de dois lados deve ser sempre maior que a medida do terceiro lado, a + b> c.
Os triângulos isósceles têm dois lados com a mesma medida ou comprimento; ou seja, eles são congruentes e o terceiro lado é diferente destes.
Os triângulos isósceles também são conhecidos como triângulos isoangulares, porque têm dois ângulos com a mesma medida (congruentes). Eles estão localizados na base do triângulo, opostos aos lados que têm o mesmo comprimento.
Devido a isso, foi gerado o teorema que afirma que:
"Se um triângulo tiver dois lados congruentes, os ângulos opostos a esses lados também serão congruentes." Portanto, se um triângulo é isósceles, os ângulos de suas bases são congruentes.
Exemplo:
A figura a seguir mostra um triângulo ABC. Desenhando sua bissetriz do vértice do ângulo B até a base, o triângulo é dividido em dois triângulos iguais BDA e BDC:
Desta forma, o ângulo do vértice B também foi dividido em dois ângulos iguais. A bissetriz é agora o lado comum (BD) entre esses dois novos triângulos, enquanto os lados AB e BC são os lados congruentes. Assim, temos o caso da congruência lado, ângulo, lado (LAL).
Isso mostra que os ângulos dos vértices A e C têm a mesma medida, assim como pode-se mostrar que como os triângulos BDA e BDC são congruentes, os lados AD e DC também são congruentes..
A linha que se traça do vértice oposto à base até o ponto médio da base do triângulo isósceles é ao mesmo tempo a altura, a mediana e a bissetriz, bem como a bissetriz em relação ao ângulo oposto da base..
Todos esses segmentos coincidem em um que os representa.
Exemplo:
A figura a seguir mostra o triângulo ABC com um ponto médio M que divide a base em dois segmentos BM e CM.
Desenhando um segmento do ponto M para o vértice oposto, por definição a mediana AM é obtida, que é relativa ao vértice A e lado BC.
Como o segmento AM divide o triângulo ABC em dois triângulos iguais AMB e AMC, isso significa que no caso de lado congruência, ângulo, lado será tido e, portanto, AM também será a bissetriz de BÂC.
Portanto, a bissetriz será sempre igual à mediana e vice-versa..
O segmento AM forma ângulos que têm a mesma medida para os triângulos AMB e AMC; ou seja, são complementares de tal forma que a medida de cada um será:
Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180ou
dois * Med. (AMC) = 180ou
Med. (AMC) = 180ou ÷ 2
Med. (AMC) = 90ou
Pode-se saber que os ângulos formados pelo segmento AM em relação à base do triângulo são retos, o que indica que este segmento é totalmente perpendicular à base..
Portanto, representa a altura e a bissetriz, sabendo que M é o ponto médio.
Portanto, a linha AM:
As alturas que são relativas a lados iguais também têm a mesma medida.
Como o triângulo isósceles tem dois lados iguais, suas duas alturas respectivas também serão iguais..
Como a altura, mediana, bissetriz e bissetriz em relação à base, são representadas ao mesmo tempo pelo mesmo segmento, o ortocentro, baricentro central e circuncentro serão pontos colineares, ou seja, estarão na mesma linha:
O perímetro de um polígono é calculado adicionando os lados.
Como neste caso o triângulo isósceles tem dois lados com a mesma medida, seu perímetro é calculado com a seguinte fórmula:
P = 2*(lado a) + (lado b).
A altura é a linha perpendicular à base, ela divide o triângulo em duas partes iguais, uma vez que se estende até o vértice oposto.
A altura representa a perna oposta (a), o meio da base (b / 2) a perna adjacente e o lado “a” representa a hipotenusa.
Usando o teorema de Pitágoras, o valor da altura pode ser determinado:
paradois + bdois = cdois
Onde:
paradois = altura (h).
bdois = b / 2.
cdois = lado a.
Substituindo esses valores no teorema de Pitágoras, e resolvendo pela altura, temos:
hdois + (b / dois)dois = paradois
hdois + bdois / 4 = paradois
hdois = paradois - bdois / 4
h = √ (paradois - bdois / 4).
Se o ângulo formado pelos lados congruentes for conhecido, a altura pode ser calculada com a seguinte fórmula:
A área dos triângulos é sempre calculada com a mesma fórmula, multiplicando a base pela altura e dividindo por dois:
Há casos em que apenas são conhecidas as medidas de dois lados do triângulo e o ângulo formado entre eles. Neste caso, para determinar a área é necessário aplicar as relações trigonométricas:
Como o triângulo isósceles tem dois lados iguais, para determinar o valor de sua base é necessário saber pelo menos a medida da altura ou um de seus ângulos.
Sabendo a altura, o teorema de Pitágoras é usado:
paradois + bdois = cdois
Onde:
paradois = altura (h).
cdois = lado a.
bdois = b / 2, é desconhecido.
Resolvemos para bdois da fórmula e temos que:
bdois = adois - cdois
b = √ adois - cdois
Como este valor corresponde à metade da base, deve ser multiplicado por dois para obter a medida completa da base do triângulo isósceles:
b = 2 * (√ adois - cdois)
Caso apenas o valor de seus lados iguais e o ângulo entre eles sejam conhecidos, a trigonometria é aplicada, desenhando uma linha do vértice até a base que divide o triângulo isósceles em dois triângulos retângulos.
Desta forma, metade da base é calculada com:
Também é possível que apenas o valor da altura e do ângulo do vértice oposto à base sejam conhecidos. Nesse caso, por trigonometria, a base pode ser determinada:
Encontre a área do triângulo isósceles ABC, sabendo que dois de seus lados têm 10 cm e o terceiro lado tem 12 cm.
Solução
Para encontrar a área do triângulo, é necessário calcular a altura usando a fórmula da área que está relacionada ao teorema de Pitágoras, pois o valor do ângulo formado entre os lados iguais não é conhecido.
Temos os seguintes dados do triângulo isósceles:
Os valores são substituídos na fórmula:
O comprimento dos dois lados iguais de um triângulo isósceles é de 42 cm, a união desses lados forma um ângulo de 130ou. Determine o valor do terceiro lado, a área desse triângulo e o perímetro.
Solução
Neste caso, as medidas dos lados e o ângulo entre eles são conhecidos..
Para saber o valor do lado que falta, ou seja, a base daquele triângulo, traça-se uma linha perpendicular a ele, dividindo o ângulo em duas partes iguais, uma para cada triângulo retângulo formado.
Agora, por trigonometria, é calculado o valor da metade da base, que corresponde à metade da hipotenusa:
Para calcular a área é necessário saber a altura daquele triângulo que pode ser calculado por trigonometria ou pelo teorema de Pitágoras, agora que o valor da base já foi determinado.
Por trigonometria será:
O perímetro é calculado:
P = 2*(lado a) + (lado b).
P = 2* (42 cm) + (76 cm)
P = 84 cm + 76 cm
P = 160 cm.
Calcule os ângulos internos do triângulo isósceles, sabendo que o ângulo da base é Â = 55ou
Solução
Para encontrar os dois ângulos ausentes (Ê e Ô), é necessário lembrar duas propriedades dos triângulos:
 + Ê + Ô = 180 ou
 = Ô
Ê = 55ou
Para determinar o valor do ângulo Ê, substituímos os valores dos outros ângulos na primeira regra e resolvemos para Ê:
55ou + 55ou + Ô = 180 ou
110 ou + Ô = 180 ou
Ô = 180 ou - 110 ou
Ô = 70 ou.
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