Características e propriedades do vetor, elementos, tipos, exemplos

O vetor Eles são entidades matemáticas que têm uma magnitude -positiva, geralmente acompanhada por uma unidade de medida, bem como direção e sentido. Essas características são muito apropriadas para descrever quantidades físicas como velocidade, força, aceleração e muito mais..

Com vetores é possível realizar operações como adição, subtração e produtos. A divisão não é definida para vetores e quanto ao produto, existem três classes que descreveremos posteriormente: produto escalar ou ponto, produto vetorial ou cruzado e produto de um escalar por um vetor.

Para descrever completamente um vetor, é necessário indicar todas as suas características. A magnitude ou módulo é um valor numérico acompanhado por uma unidade, enquanto a direção e direção são estabelecidas com a ajuda de um sistema de coordenadas.

Vejamos um exemplo: digamos que um avião voe de uma cidade para outra a uma velocidade de 850 km / h na direção NE. Aqui temos um vetor totalmente especificado, uma vez que a magnitude está disponível: 850 km / h, enquanto a direção e o sentido são NE.

Os vetores são geralmente representados graficamente por segmentos de linha orientados, cujo comprimento é proporcional à magnitude.

Enquanto para especificar a direção e o sentido é necessária uma linha de referência, que normalmente é o eixo horizontal, embora o norte também possa ser tomado como referência, como é o caso da velocidade do avião:

A figura mostra o vetor velocidade do avião, que é denotado como v sobre negrito, para distingui-lo de uma quantidade escalar, que requer apenas um valor numérico e alguma unidade a ser especificada.

Índice do artigo

• 1 elementos de um vetor
  • 1.1 Componentes retangulares de um vetor
• 2 tipos
  • 2.1 Vetores unitários ortogonais
• 3 Soma de vetores
  • 3.1 Propriedades da adição de vetores
• 4 exemplos de vetores
• 5 Outras operações entre vetores
  • 5.1 Produto de um escalar e um vetor
  • 5.2 Produto escalar ou produto escalar entre vetores
  • 5.3 Produto cruzado ou produto cruzado entre vetores
• 6 exercícios resolvidos
  • 6.1 - Exercício 1
  • 6.2 - Exercício 2
• 7 referências

Elementos de um vetor

Como já dissemos, os elementos do vetor são:

-Magnitude ou módulo, às vezes também chamado de valor absoluto ou norma do vetor.

-Direção

-Senso

No exemplo da figura 2, o módulo v É 850 km / h. O módulo é denotado como v sem negrito ou como |v|, onde as barras representam o valor absoluto.

O endereço de v é especificado em relação ao Norte. Neste caso é 45º Norte de Leste (45º NE). Finalmente, a ponta da seta informa sobre a direção de v.

Neste exemplo, a origem do vetor foi desenhada coincidindo com a origem O do sistema de coordenadas, isso é conhecido como vetor ligado. Por outro lado, se a origem do vetor não coincide com a do sistema de referência, diz-se que é um vetor livre.

Deve-se notar que para especificar completamente o vetor, estes três elementos devem ser observados, caso contrário, a descrição do vetor ficaria incompleta.

Componentes retangulares de um vetor

Na imagem temos nosso exemplo de vetor de volta v, isso está no avião xy.

É fácil ver que as projeções de v nos eixos das coordenadas xey determinam um triângulo retângulo. Essas projeções são v_Y Y v_x e são chamados de componentes retangulares de v.

Uma maneira de denotar v através de seus componentes retangulares é assim: v = x, v_Y>. Esses colchetes são usados ​​em vez de parênteses para enfatizar o fato de que é um vetor e não um ponto, já que neste caso seriam usados ​​parênteses..

Se o vetor estiver no espaço tridimensional, é necessário mais um componente, para que:

v = x, v_Y, v_z>

Conhecendo os componentes retangulares, calcula-se a magnitude do vetor, equivalente a encontrar a hipotenusa do triângulo retângulo cujas pernas são v_x Y v_Y,. Por meio do teorema de Pitágoras, segue-se que:

|v|^dois = (v_x)^dois +  (v_Y)^dois

Forma polar de um vetor

Quando a magnitude do vetor é conhecida |v| e o ângulo θ que este forma com o eixo de referência, geralmente o eixo horizontal, o vetor também é especificado. O vetor é então expresso como expresso na forma polar.

Os componentes retangulares, neste caso, são facilmente calculados:

v_x = |v| .cos θ

v_Y = |v| .sen θ

De acordo com o acima, os componentes retangulares do vetor velocidade v do avião seria:

v_x = 850. cos 45º km / h = 601,04 km / h

v_Y = 850. sen 45º km / h = 601,04 km / h

Tipos

Existem vários tipos de vetores. Existem vetores de velocidade, posição, deslocamento, força, campo elétrico, momento e muitos mais. Como já dissemos, na física há um grande número de quantidades vetoriais.

Quanto aos vetores que possuem determinadas características, podemos citar os seguintes tipos de vetores:

-Nulo: estes são vetores cuja magnitude é 0 e que são denotados como 0. Lembre-se de que a letra em negrito simboliza as três características fundamentais de um vetor, enquanto a letra normal representa apenas o módulo.

Por exemplo, em um corpo em equilíbrio estático, a soma das forças deve ser um vetor nulo.

-Livre e vinculado: vetores livres são aqueles cuja origem e pontos de chegada são quaisquer pares de pontos no plano ou no espaço, ao contrário dos vetores vinculados, cuja origem coincide com a do sistema de referência usado para descrevê-los.

O par ou momento produzido por um par de forças é um bom exemplo de vetor livre, uma vez que o par não se aplica a nenhum ponto particular.

-Teamlenses: são dois vetores livres que compartilham características idênticas. Portanto, eles têm a mesma magnitude, direção e sentido.

-Coplanar ou coplanar: vetores que pertencem ao mesmo plano.

-Opostos: vetores com magnitude e direção iguais, mas direções opostas. O vetor oposto a um vetor v é o vetor -v e a soma de ambos é o vetor nulo: v + (-v) = 0.

-Concorrente: vetores cujas linhas de ação passam todas pelo mesmo ponto.

-Sliders: são aqueles vetores cujo ponto de aplicação pode deslizar ao longo de uma linha particular.

-Colinear: vetores que estão localizados na mesma linha.

-Unitário: aqueles vetores cujo módulo é 1.

Vetores de unidades ortogonais

Existe um tipo de vetor muito útil em física, denominado vetor de unidade ortogonal. O vetor de unidade ortogonal tem um módulo igual a 1 e as unidades podem ser quaisquer, por exemplo aquelas de velocidade, posição, força ou outras.

Existe um conjunto de vetores especiais que ajudam a representar facilmente outros vetores e a realizar operações sobre eles: são vetores unitários ortogonais eu, j Y k, unitário e perpendicular entre si.

Em duas dimensões, esses vetores são direcionados ao longo da direção positiva de ambos os eixos x a partir do eixo Y. E em três dimensões um vetor unitário é adicionado na direção do eixo z positivo. Eles são representados da seguinte forma:

eu = <1, 0,0>

j = < 0,1,0>

k = <0,0,1>

Um vetor pode ser representado pelos vetores unitários eu, j Y k Como segue:

v = v_x eu + v_Y j + v_z k

Por exemplo, o vetor de velocidade v dos exemplos acima podem ser escritos como:

v = 601,04 eu + 601,04 j km / h

O componente em k não é necessário, uma vez que este vetor está no plano.

Adição de vetor

A soma dos vetores aparece com muita frequência em várias situações, por exemplo, quando você deseja encontrar a força resultante em um objeto que é afetado por várias forças. Para começar, suponha que temos dois vetores livres ou Y v no avião, conforme mostrado na seguinte figura à esquerda:

É imediatamente movido com cuidado para o vetor v, sem modificar sua magnitude, direção ou sentido, de modo que sua origem coincida com o fim de ou.

O vetor de soma é chamado C e é desenhado a partir de você, terminando em v, de acordo com a figura certa. É importante notar que a magnitude do vetor C não é necessariamente a soma das magnitudes de v Y ou.

Se você pensar bem, a única vez em que a magnitude do vetor resultante é a soma das magnitudes dos adendos é quando os dois adendos estão na mesma direção e têm o mesmo sentido..

E o que acontece se os vetores não forem livres? Também é muito fácil adicioná-los. A maneira de fazer isso é adicionar componente a componente ou método analítico.

A título de exemplo, consideremos os vetores da figura a seguir, a primeira coisa é expressá-los de uma das formas cartesianas explicadas anteriormente:

v = <5,1>

ou = <2,3>

Para obter o componente x do vetor de soma C, os respectivos componentes são adicionados em x a partir de v Y ou: C_x = 5 + 2 = 7. E para obter C_Y um procedimento análogo é seguido: w_Y = 1 + 3. Portanto:

ou = <7,4>

Propriedades de adição de vetor

-A soma de dois ou mais vetores resulta em outro vetor.

-É comutativa, a ordem dos adendos não altera a soma, de forma que:

ou + v = v + ou

-O elemento neutro da soma dos vetores é o vetor nulo: v + 0 = v

-A subtração de dois vetores é definida como a soma do oposto: v - você = v + (-ou)

Exemplos de vetores

Como já dissemos, existem inúmeras quantidades vetoriais na física. Entre os mais conhecidos estão:

-Posição

-Deslocamento

-Velocidade média e velocidade instantânea

-Aceleração

-Força

-Quantidade de movimento

-Torque ou momento de uma força

-Impulso

-Campo elétrico

-Campo magnético

-Momento magnético

Por outro lado, eles não são vetores, mas escalares:

-Clima

-Massa

-Temperatura

-Volume

-Densidade

-Trabalho mecanico

-Energia

-Quente

-Poder

-Voltagem

-Corrente elétrica

Outras operações entre vetores

Além da adição e subtração de vetores, existem três outras operações muito importantes entre vetores, pois dão origem a novas quantidades físicas muito importantes:

-Produto de um escalar e um vetor.

-O produto escalar ou produto escalar entre vetores

-E o produto cruzado ou vetorial entre dois vetores.

Produto de um escalar e um vetor

Considere a segunda lei de Newton, que afirma que a força F e aceleração para eles são proporcionais. A constante de proporcionalidade é a massa m do objeto, portanto:

F = m.para

A massa é um escalar; força e aceleração são vetores. Como a força é obtida multiplicando-se a massa pela aceleração, é o resultado do produto de um escalar e um vetor.

Este tipo de produto sempre resulta em um vetor. Aqui está outro exemplo: a quantidade de movimento. Ser P o vetor momentum, v o vetor de velocidade e como sempre, m é a massa:

P = m.v

Produto escalar ou produto escalar entre vetores

Colocamos o trabalho mecânico na lista de quantidades que não são vetores. No entanto, o trabalho em física é o resultado de uma operação entre vetores chamada produto escalar, produto interno ou produto escalar..

Deixe os vetores serem v Y ou, o produto escalar ou escalar entre eles é definido como:

v∙ou = |v| ∙ |ou | .cos θ

Onde θ é o ângulo entre os dois. Da equação mostrada segue imediatamente que o resultado do produto escalar é um escalar e também que se ambos os vetores são perpendiculares, seu produto escalar é 0.

De volta ao trabalho mecânico C, este é o produto escalar entre o vetor de força F e o vetor de deslocamento ℓ.

W = F∙ℓ                  

Quando os vetores estão disponíveis em termos de seus componentes, o produto escalar também é muito fácil de calcular. sim v = x, v_Y, v_z > Y ou = x, ou_Y, ou_z >, o produto escalar entre os dois é:

v∙ou = v_x ou_x + v_Y ou_Y + v_z ou_z

O produto escalar entre vetores é comutativo, portanto:

v∙ou = ou∙v

Produto cruzado ou produto vetorial entre vetores

sim v e u são nossos dois vetores de exemplo, o produto do vetor é definido como:

v x ou = C

Segue-se imediatamente que o produto vetorial resulta em um vetor, cujo módulo é definido como:

|v x u | = | v | . | u |. sen θ

Onde θ é o ângulo entre os vetores.

O produto vetorial não é comutativo, portanto v x você é você x v. De fato v x u = - (u x v).

Se os dois vetores de exemplo são expressos em termos de vetores unitários, o cálculo do produto vetorial é mais fácil:

v = v_x eu + v_Y j + v_z k

ou = u_x eu + ou_Y j + ou_z k

Produtos cruzados entre vetores unitários

O produto vetorial entre vetores unitários idênticos é zero, pois o ângulo entre eles é 0º. Mas entre diferentes vetores unitários, o ângulo entre eles é 90º e sen 90º = 1.

O diagrama a seguir ajuda a encontrar esses produtos. Na direção da seta tem direção positiva e na direção oposta tem direção negativa:

eu x j = k, j x k = eu; k x eu = j; j x i = -k; k x j = -eu; eu x k = -j

Aplicando a propriedade distributiva, que ainda é válida para os produtos entre vetores mais as propriedades dos vetores unitários, temos:

v x ou = (v_x eu + v_Y j + v_z k) x (u_x eu + ou_Y j + ou_z k) =  

= (v_You_z - v_zou_Y )eu + (v_zou_x - v_xou_z )j + (v_xou_Y - v_You_x )k

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Dados os vetores:

v = -5 eu + 4j + 1 k

ou = 2 eu -3 j + 7k

Qual deve ser o vetor C de modo que a soma v + ou + C acontece que 6 eu +8 j -10k?

Solução

-5 eu + 4j + 1 k

dois eu -3 j + 7k

 C_x eu + C_Y j + C_z k  +

--

6eu + 8 j -10 k

Portanto, deve ser cumprido que:

-5 +2 + w_x = 6 → w_x = 9

4-3 + w_Y = 8 → w_Y = 7

1 + 7 + w_z = -10 → w_z = -18

A resposta é: C = 9 eu +7 j - 18k

- Exercício 2

Qual é o ângulo entre os vetores v Y ou do exercício 1?

Solução

Usaremos o produto escalar. Da definição temos:

cos θ = v∙ou / |v| ∙ |ou|

v∙ou= -10 -12 + 7 = -15

|v| = √ (-5)^dois +4^dois +1^dois= √42 = 6,48

|ou| = √2^dois +(-3)^dois +7^dois= √62 = 7,87

Substituindo esses valores:

cos θ = -15 / 6,48 x 7,87 = -0,2941 → θ = 107,1 º

Referências

1. Figueroa, D. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. Cinemática. Editado por Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6º. Ed Prentice Hall.
3. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Física Universitária com Física Moderna. 14º. Ed. Volume 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Physics for Science and Engineering. Volume 1. 7º. Ed. Cengage Learning.